Как составить правильную формулу расчета угла между векторами?

Question

[Святослав Хусамов]

Здравствуйте! Проблема такая. У меня есть формула расчета угла между векторами. Она стандартная:



И вот есть два вектора, угол между которыми никак не вычислить, так как правая часть уравнения меньше -1. Вот эти вектора:

var x1 = -0.045797169475341334, y1 = -0.9989507591808752;
var x2 = 0.04579716947534099, y2 = 0.9989507591808753;

В итоге, выражение:

(x1 * x2 + y1 * y2) / Math.sqrt(Math.pow(x1, 2) + Math.pow(y1, 2)) * Math.sqrt(Math.pow(x2, 2) + Math.pow(y2, 2))

дает результат: -1.0000000000000002

И если взять арккосинус этого числа, то будет NaN, что и понятно, так как он определен на промежутке от -1 до 1.

Как мне скорректировать формулу, чтобы этой ошибки не было?

Comments

[AVKor]

"Скорректировать" формулу?

Жесть какая.

Answer 1

[angru]

var d = res < 0 ? Math.max(res, -1.0) : Math.min(res, 1.0);

Comments

[Святослав Хусамов]

Обязательно 1.0, а не просто 1?

[angru]

Сухроб Хусамов: подозреваю, без разницы

Answer 2

[Святослав Хусамов]

@Nc_Soft
Сухроб Хусамов: можно еще точность уменьшить (0.045797169475341334*0.04579716947534099 + 0.9989507591808752*0.9989507591808753).toFixed(6)

@GreatRash
Сухроб Хусамов: Там https://learn.javascript.ru/number#%D0%BD%D0%B5%D1... и решение написано - округлять результат до десятого знака после запятой (если нужна такая точность).

@andy.37 ru.stackoverflow.com/users/192530/andy-37

Пользуемся функцией atan2

phi = Math.atan2(y2, x2) - Math.atan2(y1, x1);
При необходимости, приводим полученный угол в нужный диапазон (0-180град или -90 - +90)

Оба алгоритма выдадут ошибку при x1=y1=0 или x2=y2=0, о чем написано выше. Вариант с atan2, имхо предпочтительней, т.к., например при x1=y1=1e+10, x2=y2=1e-10 точность вычислений по первому варианту будет околонулевой (e10 взято просто для примера, м.б. нужно существенно больше).

Математические функции указаны для Java, для .NET названия содержат заглавную букву: Math.Sqrt, Math.Atan2 и т. д.

Источник:
ru.stackoverflow.com/questions/470657/%D0%9A%D0%B0...

Answer 3

[kstyle]

найдите косинус по вашей формуле. а дальше если |cos fi - 1|<=0.000001 то считаем угол 180 или 0.

Comments

[Святослав Хусамов]

Спасибо за ответ. Первый ответ был почти таким же.

Answer 4

[southsoutheast]

у вас модуль в верхней части пропущен.

Comments

[Святослав Хусамов]

модуль я намеренно опустил

[Святослав Хусамов]

И еще, модуль числа -1.0000000000000002 все равно находится вне определения арккосинуса.

[AVKor]

Сухроб Хусамов: Тогда почему бы всё намеренно не опустить?

[Святослав Хусамов]

AVKor: Все это что? Модулей больше нет.

[AVKor]

Сухроб Хусамов: Зато есть числитель и знаменатель. Можно и их опустить, чего уж там.

А то, что получилось -1.0000000000000002 - трудно понять, что это приближённое значение, которое вычисляется с определённой погрешностью?

И напоследок - если cos(x) = a, то отсюда не следует, что x = arccos(a).

[southsoutheast]

Сухроб Хусамов: ок, но зачем тогда приводить формулу, которая не имеет к вашему коду отношения?:)
по поводу того, что получается значение меньше -1 или больше 1 - гуглите "оошибка плавающей запятой", в простом случае можно просто округлить.

[Святослав Хусамов]

AVKor: Не понимаю как мне поможет, если опустить все. Это похоже на шутку. Да, это погрешность. И как избавиться от погрешности?

[Святослав Хусамов]

Если не понятно почему я модуль опустил, то объясняю. С модулем функция определена на промежутке от 0 до 180 градусов. А мне нужно до 360 градусов, то есть полный круг.

[AVKor]

Сухроб Хусамов: Математику вообще учили в школе?

Советую снова начать учить, ибо тут всё неверно.

[Святослав Хусамов]

AVKor: спасибо за ответ конечно... но я и без вас знаю что нужно что-то учить. Тостер предназначен для ускорения в получении ответов. А так я мог бы и без тостера сидеть и корпеть над учебниками. Результат то же - только вот с тостером будет быстрее. Так что я считаю, что Вы не правильно используете Тостер. Либо ответ дайте, либо наводку, либо вообще не отвечайте (ибо смысла в ответе - учи заново математику -- никакого).

[Святослав Хусамов]

southsoutheast: я там далее дал объяснение, почему опустил модуль. А так разницы нет, с модулем или без, ибо результат один - NaN. Спасибо за наводку про ошибки с плавающей запятой. Буду изучать.

[AVKor]

Сухроб Хусамов: На каждый чих сюда будете обращаться?

Эти проблемы постоянно вылезать будут.

А ведь я ещё даже не все проблемы отмечал. Вот это, например:

Math.pow(x1, 2)

Это показывает, что вы просто не понимаете, что делаете.

И это будет хронической болезнью, если не станете разгребать эти завалы.

[Святослав Хусамов]

AVKor: вы говорите намеками. Что вам не понравилось в выражении Math.pow(x1, 2)?

[AVKor]

Сухроб Хусамов: Как вычисляются значения этой функции, знаете?

[Святослав Хусамов]

AVKor: точный алгоритм не знаю.

[AVKor]

Сухроб Хусамов: pow(x,y)=x^y=exp(y*ln(x)). Сравните с x*x.

Например, в вашем примере для x1, если сделать x1 long double, то при вычислении в программе на C (компилятор GCC) разница между двумя вариантами получается уже в 18 знаке после десятичной точки.

Я уже не говорю о разнице времени выполнения этих операций: тут она минимальна, но если таких операций будет очень много, то это может существенно сказаться на времени выполнения, если вместо x*x бездумно использовать pow(x,2).

[Святослав Хусамов]

AVKor: я до таких тонкостей еще не дошел. Сначала функционал надо нарастить, а потом оптимизацией кода заняться. И если я в формуле меняю pow на умножение, то ошибка не пропадает. Уже пробовал, и снова получил -1.0000000000000002

[AVKor]

Сухроб Хусамов: Это зависит от многих вещей, типов исходных данных, в частности.

Answer 5

[GreatRash]

Вы неверно считаете.

var dot_product = x1 * y1 + x2 * y2;
var length_1 = Math.sqrt(x1 * x1 + y1 * y1);
var length_2 = Math.sqrt(x2 * x2 + y2 * y2);

var cos_a = dot_product / (length_1 * length_2);

Comments

[Святослав Хусамов]

От моего решения

(x1 * x2 + y1 * y2) / Math.sqrt(Math.pow(x1, 2) + Math.pow(y1, 2)) * Math.sqrt(Math.pow(x2, 2) + Math.pow(y2, 2))

отличие я нашел только в том, что вы Math.pow(x1, 2) заменили на x1 * x2.

Где ошибка? если она вообще есть.

[GreatRash]

Сухроб Хусамов:
x1 * x2 + y1 * y2

VS

x1 * y1 + x2 * y2

[AVKor]

Красавец.

[Святослав Хусамов]

GreatRash: не... у меня правильно. Вот: Скалярное произведение векторов ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply
там четко написано что нужно перемножать координаты - то есть ординату с ординатой, абциссу с абциссой.

[GreatRash]

Сухроб Хусамов: Точно, ошибся.

[GreatRash]

Сухроб Хусамов: Так, стоп. А вы не думали, что тут просто JS чудит? Известная же проблема:
https://learn.javascript.ru/number#неточные-вычисления

Так что с формулой всё в порялке, у вас получается нормальное значение cos_a = -1;

[Святослав Хусамов]

GreatRash: похоже что так.. правда как это побороть - не ясно. Временное решение дали в первом ответе.

[GreatRash]

Сухроб Хусамов: Там и решение написано - округлять результат до десятого знака после запятой (если нужна такая точность).

[Святослав Хусамов]

GreatRash: забавно. Придется в каждом случае отдельное решение вырабатывать (округлять или отсекать или еще что делать).

[GreatRash]

Сухроб Хусамов: Можно проще:

var x1 = -0.045797169475341334,
      y1 = -0.9989507591808752;

var x2 = 0.04579716947534099,
      y2 = 0.9989507591808753;

x1 *= 10;
y1 *= 10;

x2 *= 10;
y2 *= 10;

var dot = x1 * x2 + y1 * y2;
var len1 = Math.sqrt(x1 * x1 + y1 * y1);
var len2 = Math.sqrt(x2 * x2 + y2 * y2);

var cos = dot / (len1 * len2); // -1

Answer 6

[Евгений]

Еще вы неправильно считаете

(x1 * x2 + y1 * y2) / Math.sqrt(Math.pow(x1, 2) + Math.pow(y1, 2)) * Math.sqrt(Math.pow(x2, 2) + Math.pow(y2, 2))

Должно быть

(x1 * x2 + y1 * y2) / Math.sqrt(Math.pow(x1, 2) + Math.pow(y1, 2)) / Math.sqrt(Math.pow(x2, 2) + Math.pow(y2, 2))

Comments

[Святослав Хусамов]

[Евгений]

Сухроб Хусамов: a/b/c либо a/(b*c)

[Святослав Хусамов]

Судя по этой таблице https://developer.mozilla.org/ru/docs/Web/JavaScri... сначала делается умножение, а потом деление. В итоге скобки не нужны.

[Евгений]

Сухроб Хусамов: Как вы можете математикой заниматься не зная приоритетов операций? Даже судя по той таблице умножение и деление имеют одинаковый приоритет и a/b/c != a/b*c

[angru]

Сухроб Хусамов: судя по той табличке - у умножения и деления одинаковый приоритет, так что операции выполняются по порядку следования операторов

[Святослав Хусамов]

angru: упсс... тогда ошибка выходит...

[Евгений]

Сухроб Хусамов: можно еще точность уменьшить (0.045797169475341334*0.04579716947534099 + 0.9989507591808752*0.9989507591808753).toFixed(6)