Дано: f(2x+y) - f(x+y) = 2x
Найти все такие функции f R->R
Нам подходят функции вида f(x)=2x + a, где a любое число из R
Покажем, что других не существует. Рассмотрим любую f(x), при каком-то фиксированном a0. Пусть существует функция g(x) != f(x), тогда существует x0 такой что g(x0) != f(x0). Пусть x+y=x0, тогда x=x0-y, тогда
f(2x0-2y+y)-f(x0)=2x0-2y
f(2x0-y)-f(x0)=2x0-2y
и g(2x0-y)-g(x0)=2x0-2y Умножим первое ур-е на (-1) и сложим со 2-м:
f(x0)-g(x0)+g(2x0-y)-f(2x0-y)=0
g(2x0-y)-f(2x0-y) = g(x0)-f(x0)
Но правая часть не равна 0, т.к. по предположению f и g не равны в этой точке, тогда g(2x0-y)-f(2x0-y) != 0 для любого y из R. Значит если g и f отличаются хотя бы в одной точке, то они отличаются во всех точках. Но предикат g(2x0-y)-f(2x0-y) != 0 можно рассматривать для любого параметра a из R (множество прямых f(x)=2x+a, покрывает всё R^2) а значит g не может принять ни одного значения ни для какого аргумента, значит такой g нет.
Правильно ли доказывается отсутствие существования такой g?
Да, ваше рассуждение корректно. Но можно сильно проще.
F(2x+y)-f(x+y) = 2x
Обозначим x+y = a.
f(x+a)-f(a) = 2x
Очевидно, что это уравнение выполняется для любых x,a
Подставим a=0:
f(x)-f(0)=2x
или F(x) = 2x+f(0).
Обозначим f(0) за c.
F(x) = 2x+c.
Тут все рассуждения в обе стороны, мы не выводили следстие из чего-либо, а лишь переписывали известное нам уравнение в эквивалентное. И получили, что F(x) - прямая с наклоном 2. Других быть не может, потому что именно этот вид эквивалентен изначлаьному условию.
Edit: Был не прав в конце. Это не эквивалентные утверждения, но мы вывели логически из условия, что функция - прямая. Других быть не может, потому что противоречие: функция не может одновременно быть такой прямой и не быть. А мы прямую вывели.
Других быть не может, потому что противоречие: функция не может одновременно быть такой прямой и не быть. А мы прямую вывели.
Это следует из f(x)-f(0)=2x, что для любого x, разность значения функции в x с её произвольной фиксированной точкой (в данном случае 0) равна удвоенному (или ax в общем случае) аргументу?
