Нужно ли это доказывать в обратную сторону?

Question

[floppa322]

Пусть f(x) полином 2-й степени.
Пусть нужно решить ур-е f(g(x)) = f(h(x)).

Пусть как-то геометрически на плоскости f(x), x доказал, что у полинома 2-й степени f(x), его значения равны помимо очевидного равенства аргументов, ещё равны, если аргументы равноудалены от X вершины (дальше будет обозначена как C). Тогда решение сводится к g(x) + h(x) = 2C. Тут мы нашли числа, которые в сумме равны 2C, но вдруг среди них есть те, которые равны 2C, но не равноудалены от X вершины

Правильно ли я понимаю, что нужно ещё доказать в обратную сторону, что если 2 числа в сумме равны 2C, то из этого следует что они равноудалены от Xв ?



A - мн-во всех таких пар xi, xj, с суммой 2C. B - множество всех таких пар xi, xj, с суммой 2C и одновременно равноудалённые от Xв. Нужно показать что A = B

Ну то есть сначала выясняется, что равноудалённые от X вершины числа обаладают свойством, что в сумме равны 2C, затем они как-то находятся, а затем в обратную сторону нужно показать, что если 2 числа в сумме равны 2C, то они равноудалены ?

Ну или можно с точки зрения мат. логики сказать, что было: Если равноудалены => Сумма 2С. Ну и нужно доказать это утверждение в обратную сторону

Comments

[shurshur]

Ничего не понятно. Что такое X? Кто и почему равноудалён?

Так-то можно придумать много решений. Например, f(x)=x²-1, g(x)=sin(x+πn), h(x)=sin(x+πm). Тогда любое значение x=π/2+πk будет решением.

[floppa322]

shurshur,

>Кто и почему равноудалён?
ну если аргументы f(x) - x1, x2 равноудалены от xв, то f(x1)=(fx2)

>Что такое X?
ну X вершина параболы

>Так-то можно придумать много решений. Например, f(x)=x²-1, g(x)=sin(x+πn), h(x)=sin(x+πm). Тогда любое значение x=π/2+πk будет решением.
это вроде бы ничему не противоречит

[shurshur]

floppa322, дело в том, что в самом начале написано фактически, что x1=g(x), x2=h(x). Эти функции могут быть какими угодно, и то, что у них у обоих одно и то же значение аргумента, никак не связано со значением функций g и h, которые дают аргументы для f.

Если рассматривать только фунцию f(x), которая задаётся квадратичным многочленом, то, конечно, это всегда будет парабола, где оба значения будут отклоняться в равной степени от середины.

Вспоминаем теорию решения квадратных уравнений. У нас парабола f(x)=ax^2+bx+c. Рассмотрим уравнение вида ax^2+bx+c=значение_y_горизонтальной_линии. Если перенести значение в левую часть - получим обычное квадратное уравнение ax^2+bx+d=0 (d=c-значение), корни его -b/2a±sqrt(D)/2a. Тут будет "середина" -b/2a, которая никогда не зависит от d, а значит и от првой части уравнения ax^2+bx+c=значение. Поэтому любая горизонтальная будет давать значения, равноудалённые от -b/2a влево и вправо на sqrt(D)/2a.

Answer 1

[Wataru]

Вообще, в этой задаче это не обязательно. Даже если A > B, вы найдете какие-то решения и потом подстановкой их проверите. Ну или, да, вам надо сразу найти x, что они равноудалены от C, и надо решать уравнения, из которых это следует.

А так, A=B - это легко доказывается.

Comments

[floppa322]

. Даже если A > B, вы найдете какие-то решения и потом подстановкой их проверите.

я имел в виду, нужно ли доказывать в обратную сторону чисто формально :)

ну то есть, если сначала было доказано геометрически: равноудалены => сумма 2C, то затем видимо нужно показать сумма 2С => равноудалены