Как разделить «пик» функции на два простых пика?

Question

[Николай Животенко]

Доброго времени суток. Простите за тривиальный вопрос. Тяжеловато приходится в университете с математикой, а в особенности с функциональным анализом. Имеются экспериментальные данные, точки, по которым строится график, не имеющий на данном этапе аналитической формулы. Например так

Предположим, что исходный "пик и плечо" функции является суперпозицией двух "простых пиков", например парабол. Как разделить этот пик? При этом получить 2 функции (аналитические формулы, например в виде многочлена n-й степени), при сложении которых получим исходный график.
Наверняка необходимо сначала аппроксимировать функцию, а далее каким либо методом разделить. Собственно проблема - отсутствие и незнание метода. Буду очень благодарен, если ткнете в литературу с описанием данного метода, а ещё лучше с алгоритмом его реализации.

Comments

[Everything_is_not_so_bad]

Судя по тегам, вы в курсе о преобразовании Фурье. Пробовали узнавать о применении для данной задачи?

Answer 1

[Mrrl]

Сумма двух парабол - это тоже парабола. Как и сумма любых двух многочленов - многочлен той же степени.
Возможно, график удастся представить в виде суммы двух нормальных распределений:
f(x)=a1*exp((x-b1)^2/c1)+a2*exp((x-b2)^2/c2).
Получается 6 неизвестных. Записываете функцию F(a1,b1,c1,a2,b2,c2)=sum((f(x_i)-y_i)^2) и ищете её минимум. Например, методом градиентного спуска.

Comments

[bobrovskyserg]

...многочлен той же или меньшей степени.

Answer 2

[B@rmaley.e><e]

Если Вы верите, что наблюдения являются суперпозицией двух парабол, т.е. имеют зависимость y = f(g(x)), где g и h — полиномы второй степени, то можно выписать уравнение для y, которое будет зависеть от 6 параметров (по 3 на каждую параболу). Пусть это будет зависимость вида y = F(x; a,b,c,d,e,f) где F(x) = h(g(x)) — полином, соответствующий суперпозиции парабол, а a...f — коэффициенты этих парабол.

Запишем теперь систему уравнений:
Для каждой точки подставим её x в F, оставив все остальные переменные переменными. Получим N полиномов (по числу точек-наблюдений) нескольких переменных, зависящих от параметров a...f. Для каждого такого полинома мы знаем, что если подставить правильные a...f, то мы получим y этой точки. Т.е. каждой точке (x_k, y_k) соответствует уравнение F(x_k; a,b,c,d,e,f) = y_k. Решить это уравнение можно методом Ньютона, например.

P.S. Решаемая система не будет линейной.

Comments

[Николай Животенко]

А если нет уверенности, что суперпозиция именно парабол, просто неизвестных функций. Имеет место быть метод такого разделения? Есть что-либо подобное в MathCAD, MATLAB, OrinigPro, Maple и т.д.? Как можно правильно назвать этот "процесс", именно разделения функций.

[Семен Дубина]

Николай Животенко: Если нет уверенности, то согласно разложения Фурье можно подобрать бесконечно много функций, которые соответствуют суперпозиции. Максимум чего можно добиться - аппроксимировать полином как описали выше.

Answer 3

[Семен Дубина]

Краткий ответ на вопрос: вы хотите невозможного, если строго. Можно ещё и эвристические алгоритмы приплести, но вам, кажется, другое хотелось))