Если надо найти точную вероятность того, что все дни рождения заполнены, то формула получается сложной. Эквивалентная формулировка - найти количество M-значных чисел в системе счисления по основанию N, в которых встречаются все N цифр.
Рассматриваем наборы из N чисел a1,a2,a3,...,aN, для которых ai>=0 и a1+a2+...+aN=M-N, и по всем таким наборам (их С(M-1,N-1), наборы с разным порядком считаются разными) считаем сумму S величин 1^a1+2^a2+...+N^aN. Тогда искомое количество чисел равно S*N!, а искомая вероятность - S*N!/(N^M).
Приближенную вероятность, когда M заметно больше N, найти проще. Вероятность того, что в определённый день ни одного дня рождения не будет, равна (1-1/N)^M, и вероятность того, что хотя бы один день рождения будет каждый день - (1-(1-1/N)^M)^N (здесь мы считаем события независимыми, что вообще говоря, неправда). При больших N и M/N это можно оценить как exp(-N*exp(-M/N)). Если N=365, то для достижения вероятности 99% нужно 3833 друга, а для 99.9% - 4675 друзей.
Наличие 29 февраля ещё несколько усложняет картину.
Ответы на вопросы 1-5 при N=366: 2041, 2295, 2617, 3844, бесконечность.
Уточнение: число S, которое получается в точном решении, это
число Стирлинга второго рода S(M,N). По ссылке есть простая явная формула.
Простой
