Как решить эту задачу?

Question

[YarNer]

Никак не могу решить задачу. Пробовал через нейронки, калькуляторы Гаусса, ничего не помогает.

Answer 1

[Wataru]

У вас 7 неизвестных и 3 уравнения. Так что однозначно вы найти значения переменных никак не сможете. Но и найти вам надо какую-то сумму. Есть шанс, что как-то комбинируя, складывая, вычитая и домножая левые части этих уравнений можно получить искомую сумму. Иными словами, вам надо вектор (16, 25..100) представить в виде линейной комбинации векторов (1, 2..49), (4, 9..64) и (9, 16..81). Обратите внимание, что там везде получаются суммы трех квадратов равны следующему.

Вам надо подобрать такие 3 коэффициента, что x*n^2 + y(n+1)^2+z(n+2)^2 = (n+3)^2. Для n=1..7. У вас тут квадратные многочлены от n получаются, равны они в 7 точках, так что они должны быть равны вообще при любых n. Значит, вам надо раскрыть скобки, сгрупировать степени n и приравнять к 0 все коэффициенты.

Так вы получите 3 уравнения на 3 переменные x, y, z.
x+y+z=1
2y+4z=6
y+4z=9

Отсюда получается x=1 y=-3 z=3

В итоге получаете 1*1-3*12+3*123 - это ваш ответ.

Comments

[YarNer]

Спасибо огромное!! Честно, ниииичего не понятно из написанного, но ответ подошел!

[Alexandroppolus]

Отсюда получается x=1 y=-3 z=3

любопытно, что это знакочередующиеся биномиальные коэффициенты для третьей степени.

т.е. если (n+3)^2 переставить влево, то будет полный комплект:
n^2 - 3 * (n+1)^2 + 3 * (n+2)^2 - (n+3)^2 = 0, для любого n

оказывается, это можно обобщить для коэффициентов степени больше 3,
например, n^2 - 4 * (n+1)^2 + 6 * (n+2)^2 - 4 * (n+3)^2 + (n+4)^2 = 0 , здесь набор коэффициентов для бинома 4 степени. И т.д. Доказать можно так:
Обозначим эту сумму как F(k, n) = sum(i = 0...k) ((-1)^i * C(k, i) * (n+i)^2)
для k=3 уже выяснили, что F(k, n) = 0
для k>3 можно заметить, что F(k+1, n) = F(k, n) - F(k, n+1), и далее по индукции.