Независимыми событиями A и B называют такие события, что P(A|B) = P(A) и обычно добавляют, что это же означает, что то, что событие B произошло не даёт никакой информации относительно события A. Вот в чём проблема, приведу 2 примера:
1. Имеется восьмигранник, каждая грань выпадает с равной вероятностью. Событие A заключается в том, что выпадет чётное число, A = {2, 4, 6, 8} P(A) = 1/2, событие B заключается в том, что число строго больше 4, B = {5, 6, 7, 8} P(B) = 1/2. P(A|B) = 2/4 = 1/2 = P(A) отсюда следует, что события A и B независимы. Но ведь информация о том, что B произошло ещё как даёт информацию о событии A: элементарные исходы {2}, {4} не произошли, однако по определению события независимые.
2. Тот же пример, что и в пункте 1, только все исходы восьмигранника обозначим как Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, также имеется второе множество, например результат погоды Ω2 = {Дождь, Солнце}, сделаем декартово произведение Ω1✕Ω2 = Ω3 = { {1, Дождь}, {2, Дождь}, {3, Дождь}, {4, Дождь}, ... {8, Солнце}} итого 16 элементов. Событие A - {выпала "1" на восьмиграннике}, событие B - {Дождь}, P(A|B) = 1/8 = P(A) = 2/16, по определению события независимы, и как раз в этом примере информация о событии B действительно ничего не даёт относительно A (в логическом смысле)
В 1-м случае наблюдается, что величина меры события A в исходном Ω такая же, как события A∩B в множестве Ω2=B, иначе говоря A/Ω = (A∩B)/Ω2 = константа (всем известная условная вероятность), однако события A и B связаны логически (то есть информация о B даёт информацию об A), в то время как во 2-м случае логическая связь отсутствует.
Вопрос: есть ли формальное отличие случая 2 от 1 или 1-й случай это лишь частный случай 2-го (тогда по идее он тоже должен быть результатом декартова произведения "разнородных" множеств по какому-то признаку) ?
да, первый случай - это декартово произведение. Например, так:
Ω1 = {1, 2, 3, 4}
Ω2 = {0, 4}
Ω3 = Ω1✕Ω2 = {1+0, 2+0, 3+0, 4+0, 1+4, 2+4, 3+4, 4+4}
т.е. суммируем элементы из множества Ω1 с элементами из множества Ω2.
Событие А: из Ω1 выбрали {2, 4}
Событие В: из Ω2 выбрали {4}
теперь прям очевидно независимые.
обычно добавляют, что это же означает, что то, что событие B произошло не даёт никакой информации относительно события A
это не совсем верно. Правильно говорить только о том, что наступление В не влияет на вероятность наступления А.
Хм, следует ли из этого, что, если в Ω есть какие-то события отличиные от Ω, что они являются независимыми, то это исходное Ω можно представить, как декартово произведение каких-то Ωi, что внутри себя каждый Ωi имеет только зависимые события, получается такое Ωi "однородное" множество
обычно добавляют, что это же означает, что то, что событие B произошло не даёт никакой информации относительно события A
это не совсем верно. Правильно говорить только о том, что наступление В не влияет на вероятность наступления А.
Ну вот как раз для 2-го примера это вроде бы хотя бы в бытовом смысле звучит разумно (когда сделали полную группу событий черзе декартовы прозиведения совсем разных сущностей и их вероятностей), хотя в 1-м уже странно )
Смотри если A и B имеют общие исходы это еще не означает что они зависимы, знание что событие произошло должно изменять вероятность события А. Поменяй условие задачи, сделай не восьмигранник, а кубик. Омега будет {1,2,3,4,5,6}, A = {не четные}, B = {больше или равно 4}. A и B будет {5}. далее проделай все тоже самое, что я в ответе, и в этом случае они будут зависимыми.
Спасибо за ответ
Это-то всё я понимаю, мне было любопытно про формальное отличие 1го случая от 2-го и ещё про:
Хм, следует ли из этого, что, если в Ω есть какие-то события отличиные от Ω, что они являются независимыми, то это исходное Ω можно представить, как декартово произведение каких-то Ωi, что внутри себя каждый Ωi имеет только зависимые события, получается такое Ωi "однородное" множество
floppa322, Мне сложно ответить на твой вопрос. Я его не до конца понимаю. Я скорее практик, а когда применяешь теорию вероятности на практике, то на первое место выходит идея (определенной концепции), а не ее точное формулирование. По скольку информации почти всегда не достаточно, что бы просто оперировать формулами и приходится либо оценивать либо чаще всего находить нормализующую константу.
