Какое решение уравнения x^3 + y^3 = z^3 в дробных числах?

Question

[Корень]

Какое решение уравнения x^3 + y^3 = z^3 в дробных числах, кроме?: x = 1, y = 1 и z = 2^{1/n}
Подскажите другие варианты.

Как называется эта формула, кто ее придумал?: x = 1, y = 1 и z = 2^{1/n}

Comments

[Алексей Горбунов]

x= 1/n, 
y=1/m
z= ( (m^3 + n^3)^(1/3) )/m*n

[Корень]

Алексей Горбунов, Можете пару готовых ответов сказать?

[Lynn «Кофеман»]

Эм, ваше «решение» не в дробных числах. Так что совершенно неясно о чём собственно вопрос.

[Корень]

Lynn «Кофеман», Скажите пожалуйста, как правильно?

[Lynn «Кофеман»]

Корень, а нам-то откуда знать как правильно?

В текущем виде у вас сформулирована теорема Ферма про которую известно что-то на не решается в целых числах.

[Корень]

Lynn «Кофеман», Нет, у теоремы Ферма a, b и c. Я почему-то думал, что если a, b и c, значит это целые. Если x, y и z значит не целые.

[Lynn «Кофеман»]

Корень, Если вы «дробными числами» называете рациональные, то без разницы, решения всё равно нет. А если вещественные, то вопрос бессмысленен.

[Корень]

Lynn «Кофеман», Понимаете, я открыл Википедию, прочел про натуральные числа, там говорится, что 0 натуральный. А знакомый говорит, что врет словарик. Я пока что не знаю, что такое рациональные и вещественные и когда верить словарю.

[Lynn «Кофеман»]

На знаю какую википедию вы открывали, но про ноль там явно написано что в этом вопросе согласия нет.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D...

Впрочем это к теме не относится, т.к. по поводу рациональных и вещественных чисел таких разночтений нет да и ноль в этой задаче в принципе не рассматривается.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D...

[Корень]

Lynn «Кофеман», Какие скажете, такие и будут. я пока что не знаю, как они называются. Ну мы же не про Ферма говорим, так что и 0³+0³=0³ т.е. x = 0, y = 0 и z = 0^{1/n} тоже в принципе сойдет.

[Lynn «Кофеман»]

Корень, ну тогда у вас сколько угодно тривиальных решений вида
p³ + 0³ = p³
0³ + p³ = p³
p³ + (-p)³ = 0³

[Корень]

Lynn «Кофеман», Согласен, был не прав, и дробь совсем не получается.

[mayton2019]

Такое ощущение что старик Ферма восстал из могилы и решил потроллить новое поколение ЧятовЖптов и Тиктоков.

[Корень]

mayton2019, Христос воскрес!

[mayton2019]

Корень, пасха уже прошла. Слушай а когда ты писал "в дробных числах". Какие ты имел в виду?
Рациональные? Типа 2/3. Или вот такие вот сойдут 0.66666666666 ?

Это сильно влияет на результат.

[Корень]

mayton2019, Сойдут любые, не целые. Это не принципиально, но желательно без трёх шестерок, ну понимаете, у меня же религиозные убеждения.

[mayton2019]

Корень, ну давай тогда помолимся Одину, Шиве и Мохаммеду. Вот тебе дробные решения.

def power(y:Double, x:Double) = exp(y * log(x))
def cubeRoot(x:Double) = power(1.0/3.0, x)

for(i <- 1 to 20) 
  val x = 1.0 + 15.0 * random.nextDouble
  val y = 1.0 + 15.0 * random.nextDouble
  println(s"${x}^3 + ${y}^3 = ${cubeRoot(x*x*x+y*y*y)}^3")  

4.891310925301951^3 + 15.569296736594316^3 = 15.728583958104018^3
13.592433806568312^3 + 2.2122130724169717^3 = 13.611938633511603^3
2.1013227112108344^3 + 4.120563514744775^3 = 4.295212598610321^3
2.6251636587349285^3 + 8.50679564468875^3 = 8.589325171872101^3
3.1642195307173377^3 + 9.547857845765686^3 = 9.662322274067522^3

[Корень]

mayton2019, Спасибо вам добрый человек. Так?:

import random
from math import exp, log

def power(y:float, x:float) -> float:
    return exp(y * log(x))

def cubeRoot(x:float) -> float:
    return power(1.0/3.0, x)

for i in range(1, 21):
    x = 1.0 + 15.0 * random.random()
    y = 1.0 + 15.0 * random.random()
    print(f"{x}^3 + {y}^3 = {cubeRoot(x*x*x+y*y*y)}^3")

Почему random, может лучше так?:

from math import exp, log

def power(y:float, x:float) -> float:
    return exp(y * log(x))

def cubeRoot(x:float) -> float:
    return power(1.0/3.0, x)

for i in range(1, 21):
    x = 1.0 + 15.0 * i / 20
    y = 1.0 + 15.0 * i / 20
    print(f"{x}^3 + {y}^3 = {cubeRoot(x*x*x+y*y*y)}^3")

[mayton2019]

Корень, это как угодно. Хоть сеткой. Хоть Монте-Карло.

[Корень]

mayton2019, Можете код вашей программы перевести в математическую формулу? Так правильно: exp((1/3) log(exp(3 log(x)) + exp(3 log(y)))) или exp(y log(exp(3 log(x)) + exp(3 log(y)))^(1/3))? В LaTeX так:

$$e^{\frac{1}{3} \log(e^{3 \log(x)} + e^{3 \log(y)})}$$

или

$$e^{y \log(e^{3 \log(x)} + e^{3 \log(y)})^{\frac{1}{3}}}$$

?

[mayton2019]

Корень, не хочу. Ответ уже дан. Новые вопросы - давай отдельно.

[Корень]

mayton2019, Вы позволите ваш код разместить у себя на GitHub?

[mayton2019]

Корень, да ради бога. Ты понял что делает функция power и почему она так описана?

[Корень]

mayton2019, Нет, но очень понравилась. У нее есть название? Хочется про нее больше узнать.

[mayton2019]

В википедии по поиску логарифм и экспонента ты найдешь формулы возведения числа x в вещественную степень y.

Многие математические пакеты даже не содержат эту функцию. Предполагается что программист ее легко выразит
через exp/log. А эти функции считаются через ряды Тейлора внутри. Тоже самое что и логарифм произвольного x по любому основанию выражается через частное натуральных логарифмов. Я просто повторил код из wiki.

Хотя кубический корень из вещественного числа можно вычислить методом половинного деления или ньютона. Но это тебе домашнее задание.

[Корень]

mayton2019, В поиске написал "википедия логарифм и экспонента формулы возведения числа x в вещественную степень y" Google пишет: Результатов: примерно 884. Мне какой именно выбрать?

[mayton2019]

Вот в середине статьи есть https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation

[Корень]

mayton2019, Powers via logarithms?

[Корень]

mayton2019,

Хотя кубический корень из вещественного числа можно вычислить методом половинного деления или ньютона.

Нет, я не справлюсь с домашним заданием. Давайте подождем, мало ли, может кто-то придет и решит.

[mayton2019]

Пфф... вот без подсказок во всем интернете сам не мог найти одну известную математике формулу?

[Алексей Горбунов]

Корень, Да пошел ты. Я не знаю python. У тебя вообще тег МАТЕМАТИКА. Вали в python и там мозги сношай.

[Алексей Горбунов]

Корень, Откуда я знаю?
У меня на бумажке сходится.
Может ты рукожопый программист, поэтому и не сходится у тебя.

[Алексей Горбунов]

Корень, Держи, сам с бумажки переписывай.

[Алексей Горбунов]

Корень, "Дядя, ты дурак?"

m=1
n=2
x=1
y=0.5
z= 1.04004191152595....

[Корень]

mayton2019, Спасибо!!! На GitHub забрал, авторство указал.
Можете убрать randomность? У меня не получается, интеллект отказывается, у i/20 большой зазор. Можете вычислить кубический корень из вещественного числа методом половинного деления или Ньютона?

[mayton2019]

Корень, создавай новый вопрос в QNA.

[Корень]

mayton2019, Нет, мне и сформулировать то его не под силу для полноценного вопроса. Да и устал я от математики, сложно это для меня, пару дней пытался напряженно думать, а ощущение, что мешки с цементом таскал - отдохну немного. Очень много неизвестных для меня слов, не понимать - стыдно. Хватит мне и того что есть, позвольте еще раз сказать - СПАСИБО!!!

Answer 1

[Wataru]

Решений в рациональных и целых числах нет: Великая теорема ферма.

А в иррациональных - берете вообще любые x, y и по ним считаете z. Все.
Например, x=10, y=1, z= 1001^(1/3)
Или x = 20^(1/3), y= 7^(1/3), z=3
Их континуум этих решений (бесконечно много).

Comments

[Корень]

Как считать?:

# Вставляем данные в таблицу
for a in range(Begin,End):
    for b in range(Begin,End):
        for c in range(Begin,End):
            if(a**3 + b**3 == c**3-1):
                # Выводим решение
                print (a,'³','+',b,'³','=',c,'³','-1', '|', a ** 3,'+',b ** 3,'=',c ** 3,'-1', '|', Begin, End)

                # Если да, то вставляем решение и пределы в таблицу solutions
                cur.execute("INSERT INTO solutions VALUES (?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?)", (a, b, c, a**3, b**3, c**3, Begin, End))

Это, часть кода на Python для похожей формулы a³+b³=c³-1. Можете переписать код?

[Wataru]

Корень, могу; вот слегка сокращенный код, который так же, как в примере, добавляет все дробные решения:
# do nothing

[Wataru]

Корень, составитель задачи - невежа просто. Если хотите код, то исправьте ваш код. Чем ваше задание отличается от того в примере? У вас нет -1 справа. Ну так просто удалите из кода -1. Код ничего никуда не добавит, потому что великая теорема Ферма.

[Корень]

Wataru, Добавлять то нужно не целые, а как и по сколько?
Еще часть кода:

# Создаем таблицу для хранения решений
cur.execute("CREATE TABLE IF NOT EXISTS solutions (a INTEGER, b INTEGER, c INTEGER, a_cubed INTEGER, b_cubed INTEGER, c_cubed INTEGER, Begin INTEGER, End INTEGER)")

# Задаем диапазон значений для a, b и c
Begin = 1
End = 20001

[Wataru]

Корень,

Добавлять то нужно не целые, а как и по сколько?

Нецелых решений тоже нет! Рациональных, всмысле. Потому что из любого дробного решения можно получить целое, просто домножив все переменные на общий знаменатель.

А вот иррациональные решения вы никак не получите, потому что компьютеры с иррациональными числами работать не умеют. Но даже если бы могли, эта задача не решаема - потому что не существует алгоритма, который бы хоть и за бесконечное время, но вывел все решения, если их континуум (а иррациональных решений - столько).

[Корень]

Wataru, Простите, не понимаю, эта формула x = 1, y = 1 и z = 2^{1/n} не правильная?

[Wataru]

Корень, Правильная, но бесполезная. Во-первых, 2^{1/n} вы в компьютере не сохраните. Можно приблизительно подсчитать и вывести сколько-то первых цифр, ну ладно. Но эта формула вообще никак не повзоляет вам искать другие решения. Иррациональные решения - каждое надо вручную прописывать в коде.

[Корень]

Wataru, Вас не возможно понять, вас можно лишь постичь, со временем. Есть другие решения кроме x = 1, y = 1 и z = 2^{1/n}? Как называется эта т.с. формула x = 1, y = 1 и z = 2^{1/n} и кто ее придумал?

[Wataru]

Корень, Эта формула никак не называется. Ее, возможно, тысячи раз выдумывали сотни математиков и сразу забывали о ней, как о бесполезной и тривиальной.

Другие решения есть. Их бесконечно много. Например x=e, y=pi, z=(e^3+pi^3)^(1/3). Или x=1000, y=1, z= (1001)^(1/3). Ограничение - лишь ваша фантазия. Их все не перечислить никак. И программу написать их перебирающую невозможно.

[Корень]

Wataru, Вот, теперь понятно. Ладно, раз никак не называется, так и быть дам ей имя, пусть будет формулой Максима я амбициозен. Спросил у интеллекта Bing, он говорит, что эта формула называется уравнением Ферма-Эйлера. Хорошо, программу писать не буду. Спасибо!

[Wataru]

Корень, Искусственный интеллект вам набрехал. Они умеют галлюционировать и, когда очевидного ответа нет, выдумывают его с потолка. Это выражение - не уравнение. Уравнения Ферма-Эйлера вообще нет. Есть теорема Ферма-Эйлера, и она вообще сюда никаким боком не натягивается.

[Корень]

Wataru, Подскажите пожалуйста, где в интернете можно смотреть новости про куб, Диафанта и Ферму?

[Lynn «Кофеман»]

Корень, откуда в вашей формуле вообще взялся n?

[Wataru]

Корень, Это математика. При чем довольно сложная. Новостей про это не бывает. Всякие специализированные блоги и журналы может. Вот интересный канал на ютубе есть. Там иногда встречаются кубы. Диафантовы уравнения и что-то про ферма, наверно, тоже.

[Корень]

Lynn «Кофеман», Ну, ладно, мы же про куб говорим, тогда подставьте n=3. Не хочется портить изящность и универсальность, пусть будет n.

[CBET_TbMbI]

Найти все возможные решения всё же можно, если изменить подход. Все возможные тройки решений можно визуализировать, построив трехмерную поверхность из решений (x,y,z принять за координаты). И тогда можно утверждать: бери любую точку с этой поверхности и получишь одно из решений. А любая точка не на поверхности решением не будет.

[Корень]

CBET_TbMbI, Мне нравится, покажите еще какое-нибудь решение кроме x = 1, y = 1 и z = 2^{1/n}.

[CBET_TbMbI]

Корень, так Х и У любые же могут быть. Вообще любые без исключения (в комплексные для простоты не лезем). И каждой паре Х и У будет соответствовать всего одно Z. При том вся эта поверхность будет непрерывной и всюду дифференцируемой. Ничего особо замысловатого там не будет.

[Корень]

CBET_TbMbI, Озвучьте ваши x, y и z, пожалуйста.

[Wataru]

Корень, Максим, неужели у вас вообще нет фантазии? Вот придумайте любые 2 числа. Примеры: 3, 7, 11, 0.5, 0.111, 1/3, 2/5, 1/10, pi^e, e^pi, pi/2, sqrt(2), 10000000, 256...
Вот берите любые два из этого списка за x, y, а z находите по формуле (x^3+y^3)^(1/3).

[Корень]

Wataru, Можете сказать, pi и e до какого числа после запятой?

[Wataru]

Корень, Все знаки после запятой! Или пока вам не надоест. Вы ни один ответ к этой задаче точно не выпишите в численном виде. Только в симовльном. Например, если x=e, у=pi, то z = sqrt3(e^3+pi^3). Кто хочет, тот может подставлять хоть 2 и 3, хоть 2.71 и 3.14 - возводить в степень, брать кубический корень и получать приближенное значние x, y, z. Но смысла в этом маловато.

[Корень]

Wataru, Вы про то, что куб глушится корнем? Такой вариант у меня уже есть x = 1, y = 1 и z = 2^{1/n}.

[Wataru]

Корень, Там во всех ответах есть корень из суммы кубов. У вас в ответе 1^3+1^3. Можно вместо двух единиц подставлять все, что угодно.