Можно ли бесконечное число планет выпрямить в бесконечную плоскость?

Question

[Filipp42]

Здравствуйте!
Допустим, вселенная бесконечна и в ней бесконечное число планет. Если мы возьмём все эти планеты, развернём в блин и соединим друг с другом, получится ли бесконечная плоскость? Ведь планеты маленькие, а пространство между ними огромное.
Вопрос ставится с точки зрения теории множеств.
Филипп

Comments

[Сергей Соколов]

про «разворот в блин» подробнее, пожалуйста. Какова толщина теста?

[Filipp42]

Сергей Соколов, Имеется в виду бесконечный блин, как древние представляли землю, только бесконечно продолжающейся во все стороны. Толщина любая, допустим сто километров.

[Алан Гибизов]

Кстати, любопытно, а хватит ли бесконечной плоскости, чтобы замостить её бесконечным числом «расплющенных» планет без складок?

Answer 1

[Сергей Соколов]

По-детски упростив, вроде бы, просто представить:
в бесконечной Вселенной уже есть некая бесконечная плоскость.

Все планеты этой Вселенной пусть отбрасывают "тень" точно перпендикулярно на эту плоскость.
Задача сводится к вопросу: останутся ли на плоскости места без тени?

Т.к. Вселенная-из-задачи бесконечна во все стороны, то и в направелнии перпендикуляра к плоскости тоже.
На любую точку плоскости приходится бесконечная в обе стороны прямая, из любой точки которой на плоскость упадёт тень.

Есть ли шанс что на бесконечной прямой не встретится ни одной планеты?
Если таки не встретится – можно позаимствовать из другой "прямой", где планет «избыток»: более одной.

Только не просите составить алгоритм «задачи про упаковку» на бесконечном пространстве )

Answer 2

[Wataru]

Да.

Количество планет - счетное (Можно по спирали их все занумеровать).
Каждая планета в форме блина - континуум ("количество" точек в плоскости или в круге, или на отрезке).

Счетное количество континуумов - тоже котнинуум по мощности.
Плоскость - тоже континуум.

С точки зрения теории множеств - плоскость и поверхности всех планет равномощны.

Comments

[hint000]

Надо отметить тут удивительные (для бытового уровня мышления) факты:
1. на мощность множества не влияет, размещены ли планеты в объёме, на плоскости или даже на прямой;
2. на мощность множества не влияет, является ли "планета" шаром, полой сферой, кругом, окружностью или отрезком;
3. достаточно всего одной планеты, чтобы раскатать её на бесконечную площадь; в том числе, достаточно одной одномерной "планеты" в виде отрезка, чтобы раскатать на бесконечную площадь.

[rPman]

hint000, физика ограничивает такие операции планковской длиной

[hint000]

rPman, в вопросе нет тега "физика", но есть тег "математика". Автора вопроса интересует абстрактный случай, он это уточняет в нескольких комментариях.
По физике-то вообще затруднительно провернуть такую операцию, я бы не взялся ТЗ писать для условного исполнителя со сверхспособностями. ;)

[shurshur]

rPman, к предыдущему добавлю, что автор явно упомянул теорию множеств. А в ней нормально, что отрезок длиной 1 нанометр равномощен 16-мерному пространству.

[rPman]

мне больше понравилась старая задачка про улитку, медленно ползущую по бесконечно быстро растягивающейся резинке, она идеально ложится на понимание космоса и расширяющейся вселенной (ответ - доползет, но вселенная расширяется с ускорением, тогда ответ - по ситуации)

Answer 3

[Армянское Радио]

Сфера и плоскость, строго говоря, топологически разные множества - у них разная эйлерова характеристика.

Невозможно из сферы получить блин без прокалывания в ней дырки

Comments

[Filipp42]

Не одномерную плоскость, а опять-же бесконечный блин, как древние представляли землю, только бесконечно продолжающейся во все стороны.

[Filipp42]

Мы берём не топологические объекты, а самые обычные, разве-что пренебрегаем чудовищной гравитацией.

[Армянское Радио]

Тут придется точно формулировать, потому что топология и теория множеств - это одно, а космология и вопросы бесконечности Вселенной и количества вещества в ней - это другое. Термин "бесконечность" там в разном смысле работает

В топологии вы из одного шара можете легко сделать два, например.

Answer 4

[rPman]

У данной задачи есть проблема в формулировке (скорее всего ее либо ты не полностью ее выдал либо, скорее всего, составитель задачи не учитывал особенности строения вселенной, по современным (последние десятилетия) представлениям.

Во первых, мы не знаем сколько планет во вселенной, но можно взять приближение сверху - берем все видимое вещество минус темная материя и темная энергия, берем 90% от остатка - будем считать что это водород (сколько там еще от черных дыр надо отнять)

1. топаем на вики и смотрим плотность Критическая плотность (космология)

Затем задаемся вопросом, какова минимальная толщина, в который мы будем вещество плющить и какой ширины получится лента. Водород может стать твердым (заморозить) смотрим его плотность, плющим до размера молекулы, делим, умножаем считаем.

В общем чья плотность в итоге будет больше - сферы с радиусом Р или твоей ленты из вещества той же длины

Бредовая задача ;)

Comments

[Filipp42]

Меня в данном случае не интересует реальное устройство вселенной, не интересует критическая плотность. Я имею в виду сферические планеты в вакууме. Планеты даже не обязательно раскатывать в блины, можно просто сминать плотненько, как шарики пластилина. Задача абсолютно абстрактная и оторванная от реальности.

[mayton2019]

Мне задача напоминает научпоп. В котором не хватает исходных данных. Это как помните популярную задачу о взлетающем самолёте. Тоесть ее решать на основе знаний физики - бесполезно. Это парадокс. Можно фантазировать и придумывать миры или системы отсчета где эта задача решается и где не решается.

Возможно Армянское Радио прав. И здесь мы просто не можем расплющивать планеты не оперируя сравнением бесконечностей. Это как теория пределов. Или как игры Кантора с бесконечностями. Счетными и не-счетными.

Вот. А чтоб эти бесконечности сравнивать - у нас не хватает исходных данных.

[rPman]

Filipp42,

В общем чья плотность в итоге будет больше - сферы с радиусом Р или твоей ленты из вещества той же длины

[hint000]

mayton2019,

чтоб эти бесконечности сравнивать - у нас не хватает исходных данных

вроде хватает, и Wataru в своём ответе прямо хорошо их сравнил.

[rPman]

он хорошо описал оторванные от реальности (а точнее формулировки задачи - вселенная и планеты) математические формулировки и понимание абстрактной бесконечности.

зачем тогда нужно было говорить о вселенной?

отличным примером продолжением данного решения будет вопрос - если вселенная бесконечна, почему небо черное, ведь бесконечное количество звезд дадут бесконечное количество света?

[Filipp42]

rPman, Кстати, и правда, почему чёрное? Пыль мешает?

[rPman]

видимая вселенная конечна (диаметр примерно 93 миллиарда световых лет) потому что:
* свет двигается с конечной скоростью
* возраст вселенной (как минимум с последнего 'взрыва') ~13.8 миллиарда лет
* вселенная (пространство) расширяется соответственно плюс это дает красное смещение излучению

когда вселенная 'была маленькой' (на самом деле скорее всего нет, она была такой же бесконечной, просто сжатой высокой плотности), никакое излучение (кроме нейтрино и их ищут, реликтовые в смысле) не могло по нему распространяться, мы видим только момент когда это прекратилось (реликтовое излучение)
отличная иллюстрация

Answer 5

[Griboks]

Это задача на сходимость ряда. Грубо говоря, сходится ли ряд из площадей поверхностей планет. Правильный ответ: ряд расходится, поэтому площадь блина будет бесконечной. Логично задать следующий вопрос: какой порядок или какое отношение у этих бесконечностей.

Answer 6

[Alexandroppolus]

Множество планет - это множество целых чисел. Бесконечную плоскость можно разуметь как множество рациональных дробей (если замостить её одинаковыми квадратиками, каждый из которых сделан из планеты и пронумерован рациональной дробью). На а равномощность множества целых и множества рациональных - известный факт.

Comments

[shurshur]

Неправильно, плоскость континуальна, как и каждая планета. Так что к вопросу ответ, конечно, что множества равномощны, но как континуумы, а не счётные.