Что я понимаю неправильно в задачке про кубик?

Question

[Илья Т.]

В одной игре задали задачку:

Алиса играет в азартную игру, в которой надо бросать игральные кости, пока не преодолеешь минимальный заданный предел количества очков.
Кубики в игре шестигранные, за один бросок можно получить [1, 6] очков. Когда после броска, сумма кубиков преодолевает минимальный порог, игра оканчивается. Если по итогу количество набранных очков не превышает максимальный заданный предел, то Алиса выигрывает
Количество кубиков в игре неограниченно. Посчитайте вероятность, что Алиса выиграет
Ввод:
min_goal, max_goal - нижние и верхние границы. Если Алиса наберёт min_goal <= x <= max_goal очков, то она выиграет
Вывод:
float - шанс выиграть джекпот, результат округлите до сотых

Example:
min_goal = 2
max_goal = 6
get_result(min_goal , max_goal ) = 0.91
При первом броске можно получить число от 1 до 6. Если выпадет 2-6, то Алиса сразу же выигрывает, если выпадает 1, то придется бросить еще раз кубик и тогда появляется шанс проиграть, если выпадет 6

Пытаюсь решить на цифрах из примера и сразу впадаю в ступор. В моём понимании это решается так: из всех возможных комбинаций двух кубиков (которых 6*6=36) мы проигрываем в 1 случае, когда первый 1 а второй 6. Т.е. вероятность проиграть 1/36, а выиграть 35/36 = 0,97(2)
Откуда у них 0,91?

Answer 1

[teology]

Всего 11 возможных исходов бросков:
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6 (проигрышный)
2
3
4
5
6
Из них 10 позитивных (выигрышных), 1 отрицательный (проигрышный).
Вероятность выигрыша 10/11 = 0,91.

Это на понимание того, что есть "элементарное событие". Извините, 35/36 - это неправильно, так как нету 36 вариантов исходов, ведь после первого броска второй бросок не делается, так как игра останавливается.

Comments

[Zettabyte]

Если вас не затруднит, подскажите: я помню, что во времена учёбы в университете читал какую-то книгу по теории вероятностей, где хорошо рассказывалось как раз о случившемся в данном вопросе заблуждении - вроде как выбирается логичный вариант решения задачи, который на самом деле неверен.

Там говорилось как раз о правильном выборе того, что является событием/исходом в контексте теории вероятностей.
Понимаю, что сейчас хотел бы перечитать, но в упор не могу вспомнить, где это было.

Может быть вы сходу можете вспомнить, где могло быть такое описание?

[teology]

Не знаю. Просто помните, что формула классического определения P(A) = m / n наиболее универсальна, нежели формулы сложения и умножения вероятностей. В формулах сложения и умножения нужно аккуратно соблюдать условия их применения (независимость, несовместность). Взять просто и помножить (1/6)*(1/6) нельзя, надо доказать независимость бросков. А броски еще как зависимы, ведь второй бросок не делается, если в первом что-то такое выпало.

[teology]

Zettabyte, ответил ниже.

[Илья Т.]

Спасибо! Логика авторов задачи мне теперь ясна. Я с таким подходом не согласен т.к. получается что например исход 1-1 имеет такой же "вес" что и исход 2.
Если разбивать на элементарные события то должно получиться что вероятность выиграть это вероятность выиграть с первого броска (5/6) плюс вероятность выиграть вторым кубиком при условии что не выиграли первым (5/36)
Я тут на коленке набросал эмулятор "Алисы":

import random


def turn(min_goal, max_goal):
    summ = 0
    for i in range(0, min_goal):
        randint = random.randint(1, 6)
        summ += randint
        if (summ >= min_goal) and (summ <= max_goal):
            return True
        elif summ > max_goal:
            break
    return False


def get_result(min_goal, max_goal):
    min = min_goal
    max = max_goal
    good = 0
    bad = 0
    for i in range(1, 5000000):
        if turn(min, max):
            good += 1
        else:
            bad += 1
    return good / (good + bad)


print(get_result(2, 6))

Получилось всё-таки 0.97

[teology]

del

[Илья Т.]

teology,

Ваша программа засчитывает единичный бросок 1 как проигрыш

Конечно нет.
функция turn это партия. Посмотрите там цикл, в котором суммируются очки и который заканчивается когда достигнут один из лимитов. Т.е. при броске 1 - цикл повторится и будет добавлен результат второго броска.
функция get_result суммирует результаты функции turn т.е. партий.

[profesor08]

teology, 10/11 = 0,91 такое верно только для того случая, когда у нас есть в мешке 11 шаров, 10 из них красные, 1 черный и одна попытка вытащить шар.

[hint000]

Zettabyte,

вроде как выбирается логичный вариант решения задачи, который на самом деле неверен

это?:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Монти_Холла
Но с данным вопросом всё иначе.

Answer 2

[profesor08]

Считать надо уникальные комбинации, выигрышные отдельно, проигрышные отдельно.

Вероятность при первом броске выбросить нужную кость 5/6.
Вероятность при первом броске выбросить единицу 1/6.
Вероятность при втором броске выбросить нужную кость 5/6.

Если посчитать, то получим следующее: (5/6) + (1/6) * (5/6) = 0.97

5/6 - изначальный шанс выиграть при первом броске. Если не повезло, повторяем бросок. Но так как вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, значит надо перемножить вероятность невыигрышного броска, на вероятность выигрышного броска. Потом остается просуммировать полученные результаты.

Comments

[Илья Т.]

Не уверен что это правильно, но давайте попробуем:
Уникальные комбинации на питоне:

len(set(list(itertools.permutations([1,2,3,4,5,6],2))))

Получается 30.
Из них выигрышных - 29.
Т.е. вероятность выиграть 29/30=0.96(6)
Всё-равно 0,91 не получается

[profesor08]

Илья Т.,
Если был один бросок
1 2 3 4 5 6

Если два
11
12 22
13 23 33
14 24 34 44
15 25 35 45 55
16 26 36 46 56 66

[Илья Т.]

profesor08, спасибо. мы эту версию уже в соседней ветке обсуждаем. я не согласен с тем что исход 1-1 имеет такой же "вес" что и исход 2. Я там же приложил листинг программы эмулятора игры, который показывает 0.97 всё-таки правильный ответ.

[profesor08]

Илья Т., исход 2 имеет вероятность 1/6, а для исхода 1-1 вероятности надо перемножить.

[Илья Т.]

profesor08, Ну да. Тогда то на то и выходит. Вероятность выиграть: это вероятность выиграть первым кубиком (5/6) плюс вероятность выиграть вторым помноженная на то что ещё не выиграли первым (1/6*5/6) получается 0.97

[profesor08]

Илья Т., верно