Компьютер это не волшебный ящик. Есть конкретный код на сервере, который отвечает за выдачу результата и есть конкретный код на клиенте. Причина почему AJAX поиск выдает результаты только начиная от трех букв только в том, что так это реализовали или на сервере или на клиенте, или в обоих местах сразу.
Обычно это делают на клиенте, чтобы не перегружать запросами серверную часть, а на сервере, чтобы не перегружать запросами поисковый движек, если он есть или не делать слишком большую и медленную выборку из БД.
Вы не пивели в своем вопросе ни серверного кода, ни клиентсокого. Единственный ответ, который можно дать на ваш вопрос это философские рассуждения.