VT100

Согласно приложенному фотороботу старой батареи, так - категорически нельзя:

... послед. соединить несколько банок 18650 и подключить всю сборку к плате?

Можно - параллельно. Предварительно - отобрав по минимальному разбросу ёмкости, если б/у. Ёмкости элементов - сложатся.

Контроль остатка ёмкости в банке, скорее всего, сделан в простейших "попугаях". Да и фиг с ним, как-нибудь приспособитесь.

Отличие ёмкости от штатной... ну если процентов 20, то не сильно критично. Если в разы - надо исследовать схему на предмет зарядного и разрядного тока и соотнесения их с ёмкостью нового аккумулятора.
Хорошим подспорьем в этом вопросе, может быть наличие терморезистора (капелька на 2 проводах) для контроля температуры аккумулятора. Возможно - зарядный ток аккумулятора меньшей ёмкости будет снижаться автоматически при перегреве.

Так же, часто помогала перепрошивка дампа с другой матрицы

Оба этих дисплея не имеют встроенной памяти, так-что считывать и переписывать нечего.

Скорее - дело в напряжении на выводе 7 (контраст). Для "родной" матрицы это 1.8 В ном., а для LM057QC1T08 (правильная ссылка) - около 26(!) В. Отключите этот вывод дисплея от схемы аппарата и подайте достаточное напряжение.

• 
  
  • 1а. Найти цоколёвку (расположение сигналов) на разъёме "CON1 TTL-50PIN signal output" по ключевым словам PCB-800168 (возможно, будет полезно и наименование контроллера - SIXTHHD-HD1).
    
  • 1б. Или найти цоколёвку "старого" 10,1" дисплея.
    
    
• 2. Найти цоколёвку "нового" 11,1" дисплея.
  
• 3. Сравнением цоколёвок - определить электрическую совместимость дисплеев. Возможно - понадобится перекрещивание каких-то выводов. Слово TTL в описании контроллера серьёзно умаляет вероятность, но, думаю, китайцы ошиблись и там - таки LVDS выход на ЖКИ.
  
• 4. Если совместимо - подключить простым и подходящим способом (пайка?) одно к другому. Если формат передачи пикселей совпадёт (можно проверить и на шаге 3, тогда - начать сразу с шага 1б) - заработает.
  
  

Как-то делал подобное, приращивал плату от разбитого нотбука в ЖК-монитор. Работало, но до финала не дошло.

P.S.

..... тогда отображается всякий шлак без моего экрана.

Потому, что преобразователь HDMI-LVDS, виртуально, подходит к любому ЖКИ с указанной глубиной цвета и числовм LVDS каналов.

..... что такое эти A00, A01, A03?

Аппаратные ревизии ЖКИ. Как правило - мало на что влияют.

К чему такой дикий overengineering (U1A, U1B), если LOG104 нативно работает с фотодиодами в фотодиодном режиме? См. figure 1 и 9 в документации на него.
Зачем никчёмный аттенюатор U2B? Просто надо выбрать по формулам, чтобы расчётные уровни фототока давали на выходе U3 уровни, входящие в рабочий диапазон ПНЧ U4.
C6-C7 - с каким диэлектриком? Не дерьмо-ли типа Y5V/Z5U? Я бы поставил плёночный или, на худой конец, уменьшил бы ёмкость пропорциональным увеличением R7 и взял C0G/NP0.

Ну и про ошибку в полярности фотодиода - уже сказали.

P.S. Судя по "лесенке" умножителей - будете пытать APD со сцинтиллятором?

Что-то я схему никак не найду... Но всё расписано в тексте:

Что касается компонентов: индуктивность катушки зависит от частоты. Частота у нас фиксированная, так что будьте добры купить катушку на 220 мкГн с током насыщения не менее 240 мА, так как напряжение высоковольтной линии сильно проседает под нагрузкой.

Напряжение повышает "step-up converter" на транзисторе IRF, дросселе и диоде HER.

"Зигзаг" (Харченко), см. на publ.lib.ru сборник "В помощь радиолюбителю" no. 94. Километрах в 40 от Останкино берёт всё даже без рефлектора.
Можно попробовать покрутить антенну в поисках другого ретранслятора или отражённого сигнала.

Еще заметил, что через раз, если втыкать в розетку, возникает так же еле слышный гул, но чуть-чуть погромче и потом через три секунды стихает

И это - тоже нормально. Зависит от разности фаз в момент отключения и нового подключения.