Александр, Ну вот я вам пример сделал с вашей версией jQuery. Работает? Работает. Значит проблема в чём-то другом.
Что в консоли браузера, какие ошибки, предупреждения? Добавьте в обработчик события console.log('click'). Показывается сообщение в консоли?
И вручную переносить данные на сайт и обратно?
А других вариантов кроме бэка нету. Причём достаточно простенького shared-хостинга с одним единственным скриптом.
Александр, Потому что без стилей этот элемент имеет ширину 0. И кликнуть по нему невозможно.
А со стилями всё работает. Жмите на крестик. Подключен jquery 3.6.2
Александр, Ну так покажите полный код со стилем. А ещё лучше на codepen.io создайте пример, демонстрирующий проблему. Тот код, что вы пока показали, работать не может.
Александр, А может вы таки чего-то недоговариваете? Например не показали CSS, который меняет размер этого элемента? Как вы попадёте мышью в элемент шириной 0 пикселов?
Roman Cox, Если сервер ваш, то добавьте заголовки в ответ.
Если не ваш, то пишите промежуточный слой на своём бэкенде. Ваш фронт обращается к вашему бэку, тот делает запрос к стороннему API и возвращает вашему фронту ответ.