Первым делом вообще-то в консоль бы заглянули...
var form = $('.contacts form, .delivery form'), у вас вообще нет таких элементов. У вас есть див с
ID= delivery_form, а формы которая лежит в элементе с классом contacts или delivery у вас нет (или его не видно здесь).
дальше естественно бесполезный код, из которого
formData = {
contacts_name: $('.contacts_name').val(),
contacts_tel: $('.contacts_tel').val()
};
работает, по тому как выбирается из конкретных существующих элементов.
form = $('.popup form'); - единственно верный селектор формы, но там засада с
action = form.attr('action'),, который вообще не определен, и еще и относится к другой форме, хотя все равно неправильно выбранной.
Короче - все формы и скрипты - сплошная ошибка.
выбирайте формы по id или какому-то классу именно формы, для форм есть serialize(), смотрите ошибки в консоли.
