В общем, никто не отвечал и решение нужно было искать самостоятельно, копаясь в папке /home в первую очередь, так как WebStorm в корне не мог ничего сохранить. Он был в папке /home, а значит он только там может что то сохранить. Покопался в файлах, в итоге нашел все что мне нужно было.
Активация лежит по этому пути: /home/.local/share/JetBrains/. Копируем оттуда всё, а не только папку WebStorm 2022.2. И если спрашивают, заменять ли файл, заменяйте.
И самое странное, что ее можно украсть и присвоить себе. Неправильно поступил JetBrains. Активацию надо защищать, за что люди им тогда огромные деньги дают? Чтобы легко украли ключ, а потом в худшем случае заблокировали его?
P.S. Если папка пустая, то перейдите в ОС где WebStorm и запустите его, а потом уже идите в новую ОС и там копируйте.
Плагины, настройки и подобное хранятся тут: /home/.config/JetBrains/WebStorm 2022.2/. Но если у вас было несколько IDE, и вы хотите все сразу, скопируйте содержимое папки JetBrains.
P.S. Тут уже папка не может быть пустой, как предыдущая.