IndusDev

достаточно показать, что любое решение из C является либо решением из A, либо решением из B.
Для четных n=2k получаем x = pi/2*(2k) = pi*k, k - Z, принадлежит множеству A
Для нечетных n = (2k+1) получаем x = pi/2*(2k+1) = pi*k + pi/2, k - Z, принадлежит множеству B.
Доказано (достаточность)

Так, для равенства множеств ещё в обратную сторону надо показать, что решения из A и B принадлежат C, но там проще
A: x = pi*n = pi/2 * (2n) = pi/2 * k, k - Z
B:x = pi/2 + pi*n = pi/2 + pi/2*(2n) = pi/2 * (2n + 1) = pi/2 * k, k - Z
Доказано (необходимость)

Изучил много литературы на эту тему, попытался разобраться досконально с этой производной, знаю определения формулы, понимаю геометрический и физический смысл производной.

Не обманывай себя: если бы ты понимал геометрический смысл производной, у тебя не возникло бы дальнейших вопросов.

Не могли бы вы объяснить это простыми словами

Давай с элементарного геометрического смысла и начнём: пусть у тебя есть график дифференцируемой функции y=f(x), это такая непрерывная линия. А ты -- очень маленький и стоишь на этой линии. y показывает на север, x -- на восток, а линия, например, уходит на северо-восток. Ты настолько маленький, что тебе кажется, что линия вблизи тебя -- прямая. Производная f'(x) говорит тебе, насколько линия наклонена к направлению на восток в точке x. Т.е. если f'(x) = 2 в точке x где ты стоишь, то если ты пройдёшь 1 шаг на восток, нужно будет пройти 2 шага на север, чтобы вернуться на линию.

Все эти "бесконечно малые" можно интерпретировать как "настолько маленькие, чтобы поведение функции заметно не менялось", т.е. что функция "почти прямая" в этом масштабе, и при дальнейшем уменьшении ничего не меняется.

dx не равен нулю, а стремится к нему. Это значит, что каким бы малым мы ни сделали dx, всегда будет выполняться условие dx > 0.
Возьмите единицу. Разделите её на десять. Потом результат ещё раз на десять, и ещё, и ещё... Сколько бы раз вы ни делили, ноль вы не получите, хотя число с каждым делением будет уменьшаться в десять раз, стремясь таким образом к нулю, но не достигая его.

Возьмём какую-либо функцию, например f(x) = x²
Соответственно f(x+dx) = x²+2·x·dx+dx²
f'(x) = (f(x+dx)-f(x))/(x+dx-x) = (x²+2·x·dx+dx²-x²)/dx = (2·x·dx+dx²)/dx = 2·x+dx
Соответственно, при dx -> 0 получим f'(x) -> 2·x

y(x) = a·x²+b·x+c
Возьмём некую точку x₀ и построим в ней касательную. Она будет иметь вид:
y_k(x) = y'(x₀)·x+d = 2·a·x₀·x+b·x+d
Найдём значения в точке x₀:
y(x₀) = a·x₀²+b·x₀+c
y_k(x₀) = 2·a·x₀²+b·x₀+d
Теперь добавим произвольную положительную величину Δ и найдём значения функций в точке x₀+Δ:
y(x₀+Δ) = a·x₀²+2·a·x₀·Δ+a·Δ²+b·x₀+b·Δ+c = y(x₀)+2·a·x₀·Δ+a·Δ²+b·Δ
y_k(x₀+Δ) = 2·a·x₀²+2·a·x₀·Δ+b·x₀+b·Δ+d = y_k(x₀)+2·a·x₀·Δ+b·Δ
Учитывая, что y(x₀) = y_k(x₀) найдём разность:
y(x₀+Δ)-y_k(x₀+Δ) = y(x₀)+2·a·x₀·Δ+a·Δ²+b·Δ-y_k(x₀)-2·a·x₀·Δ-b·Δ = a·Δ²
Таким образом, знак разности не зависит от знака величины Δ, значит обе части параболы относительно x0 будут лежать по одну сторону (с какой именно стороны - определяется знаком коэффициента a) от касательной в этой точке, значит пересечения нет. При ненулевых a и Δ разность не может равняться нулю, а значит касательная и парабола кроме точки x0 нигде не соприкасаются.

пусть касательная в точке (x0, ax0^2+bx0+c);
уравнение касательной: y - ax0^2+bx0+c = (2ax0+b)(x-x0)
надо доказать что система // y = ax^2 + bx + c и y - ax0^2+bx0+c = (2ax0+b)(x-x0) имеет ед. решение (x0, ax0^2+bx0+c)
подставим y во второе уравнение, приведем подобные: x^2-2xx0+x0^2=0 то есть x=x0 ед решение

Разница предыдущего значения sum с текущим должна быть по модулю меньше E

Если массив уже отсортирован, то достаточно один раз пройти по нему, отмечая моменты смены числа

var count = 1;
for (var i = 1; i < n; i++) {
  if (mark[i] != mark[i-1]) {
    count++;
  }
}

это разве не A+B вместе (т.е 4500+4800)?

Нет, это не обязательно должно быть так.

Начнем с того, что символ "\/" - это логическое ИЛИ. Для множеств - это объединения. То есть, если C = A \/ B то во множестве С находятся те элементы, которые есть ИЛИ в A или в B.

Да, действительно, 4500+4800 и, казалось бы, ответ 9300, но так будет только в том случае, если на всех из 4800 страниц истинно только высказывание A, а на всех из 4300 истинно только высказывание B. Но мы же понимаем, что может быть такое, что на некоторых из 4800 страниц так же истинно и высказывание B, а на некоторых из 4300 - высказывание A.

Именно поэтому в условии и дано число 7000. Ибо просто так вычислить A \/ B не представляется возможным.

Логическое выражение A или B истинно, если истинно хотя бы одно из условий A и B. Это не арифметическое сложение. Для страницы из задачи могут одновременно выполняться оба условия, таким образом она попадёт сразу и в 4800 истинных для A и в 4500 истинных для B.

Число в восьмеричной системе счисления: 0177 = 177₈ = 01111111₂

Во-первых, как pos может быть <= 0, это же невозможно.

Ошибка в определении типа параметров функции привела к вот таким странностям. Довольно очевидно, что pos, позиция символа в строке - это беззнаковая переменная и проверка на "меньше нуля" излишняя (и вот в остальные функции ее разумно вставлять не стали). Все вот эти
int findspace(int pos);
int newpos(int pos);
int exptab(int pos);
должны принимать и возвращать беззнаковое, но видимо про эти типы Тондо и Гимпел еще не дочитали.