Доказательство, множества решений?

Question

[IndusDev]

Пусть даны три множества решений каких-то уравнений
A: x = pi*n, n - Z
B: x = pi/2 + pi*n, n - Z
C: x = pi/2*n, n - Z

Доказать, что A U B = C!

Не знаю как доказать, подскажите, пожалуйста

Answer 1

[15432]

достаточно показать, что любое решение из C является либо решением из A, либо решением из B.
Для четных n=2k получаем x = pi/2*(2k) = pi*k, k - Z, принадлежит множеству A
Для нечетных n = (2k+1) получаем x = pi/2*(2k+1) = pi*k + pi/2, k - Z, принадлежит множеству B.
Доказано (достаточность)

Так, для равенства множеств ещё в обратную сторону надо показать, что решения из A и B принадлежат C, но там проще
A: x = pi*n = pi/2 * (2n) = pi/2 * k, k - Z
B:x = pi/2 + pi*n = pi/2 + pi/2*(2n) = pi/2 * (2n + 1) = pi/2 * k, k - Z
Доказано (необходимость)