Как ассинхронно обрабатывать JSON?

Эмм... так JS по дефолту асинхронный. В чем проблема то? Вы делаете HTTP-запросы после получения данных? Так уточните какой библиотекой это делаете, потому что скорей всего именно HTTP-запросы делаются синхронно. Да и вообще почему вы решили, что у вас запросы делаются не асинхронно?

Как передать переменную в XMLHttpRequest (onload)?

xhr.onload = e => {
    if(xhr.readyState == 4 && xhr.status == 200){
        console.log(this.i);
    }
};

Не могу подключиться к базе данных?

Проверьте правильность данных для подключения. Скорей всего вы вводите некорректные данные. Так же проверьте какой порт нужно указывать для подключения к базе. По дефолту стоит 3306.

Как обработать HTML теги?

Пробуйте "\n" вместо "%0A"

Как подцепить/перенести блок со всеми классами?

Вообще не понятно, что вам нужно. Опишите понятнее свой вопрос.

Нужна ли математика для изучения php языка?

Для большинства задач нет.

Как добавить класс к div с определенным id?

document.getElementById('dcont').classList.add('drow');

Как заменить тэг и ковычки при помощи phpquery?

Как библиотека ругается? Покажите пример ошибки. При правильном использовании никаких проблем ни с кавычками, ни с тэгами, быть не должно. Тем более по дефолту в HTML-коде кавычки двойные.

Почему ошибка в коде PHP file_get_contents?

И что мы должны понять из вашего кода? Что за ошибку вам показывает и покажите пример JSON, который вы получаете.

Как получить значение из огромной функции, не выходя из нее?

Сохранять промежуточные значения этой переменой в других, глобальных, переменных. Или например в массиве, если их несколько. Условно говоря примерно так:

$arr = [];
function ваша_огромная_функция() {
    global $arr;
    .....
    $arr[] = $ваша_промежуточная_переменная;
    ......
}
print_r($arr); /* ваши промежуточные значения */

или если ваша функция ничего не возвращает, то возвращать массив тех самых промежуточных значений:

function ваша_огромная_функция() {
    $arr = [];
    .....
    $arr[] = $ваша_промежуточная_переменная;
    ......
    return $arr;
}
$arr = ваша_огромная_функция();
print_r($arr);

Как сбросить состояние чекбоксов при возврате назад на страницу?

Но при таком варианте чекбоксы не будут передаваться из формы в параметры, потому что они будут считаться отключенными при нажатии на #showresults

Как убрать элемент если находится в определенном блоке?

Проверять родительский элемент формы, и если это модальное окно то добавлять кнопку. Или наоборот, если это не модальное окно, то удалять кнопку. Да и вообще в чем проблема добавить кнопку закрытия модального окна непосредственно в HTML-коде модального окна, а не в форме, которая подключается из отдельного файла в несколько мест?

Как спарсить сайт, если на нем JavaScript'ы, которые перекидывают на главную страницу?

Опишите конкретнее как устроена нужная для парсинга страница. Скрипты то как раз при парсинге НЕ срабатывают и никуда перекидывать не должно.

В чем суть сниппетов в верстке?

Упрощение написания кода, чтобы не писать каждый раз одно и тоже. Для верстки можно использовать Emmet

Как можно реализовать такой калькулятор?

HTML:

<span class="number">0</span>
<label><input class="checkbox" type="checkbox">чекбокс</label>

JS:

document.querySelector('.checkbox').addEventListener('click', function() {
    document.querySelector('.number').innerText = (this.checked) ? '3000' : '0';
});

Как парсить сайты где всё построено на JavaScript?

Запрос через AJAX это ведь такой же обычный HTTP-запрос. Смотрите через Панель Разработчика в браузере какие страницы запрашивает AJAX и парсите их. Или что вы имеете ввиду?

Почему php//input возвращает пустую строку?

notmad, по идее все должно нормально работать. Запрос дефолтный. Проверяйте поэтапно как приходят данные. Например попробуйте для начала так:

PHP:

<?php
//include "config.php"; // подключение к базе

print_r(file_get_contents("php://input"));
exit();

JS:

axios
    .post("http://localhost/report-panel/api/ajax.php", {
        request: 1
    })
    .then(function(response) {
        console.log(response.data);
        //this.list = response.data;
   })

и посмотрите ответ в консоле. То есть просто попробуйте обработать входящие данные, без всяких подключений к БД и работы с полученными данными.

Почему php//input возвращает пустую строку?

Покажите свой код запроса из Axios.

Может ли быть на 2х элементах возникнуть одно событие?

Если label привязан к input атрибутом for то в event.target будут оба элемента элемента. Если не привязан то, будет только span

Как передать данные между двумя сайтами?

Дмитрий максимальное время выполнения скрипта можно увеличить в php.ini если нужно. Если такой возможности нет, то не знаю даже, нужно уже по ситуации решать. Если CRONом не получится автоматизировать, то возможно потребуется серверная часть, например на Node.js. Но это я уже так, можно сказать глубже копнул, потому что не думаю, что для вашей задачи все-таки нужны серверные ресурсы.