DMostov

Да, такое возможно.

• Следует для начала обслужить видеокарту — продуть от пыли, заменить термопасту и, при необходимости, термопрокладки (при снятии системы охлаждения их легко повредить).
  
• Проверить работу видеокарты при открытой боковой крышке системного блока для улучшения охлаждения.
  
• Проверить напряжения БП без нагрузки и под нагрузкой, особенно линии питания видеокарты. Очень желательно мультиметром.
  Таблица допустимых напряжений блока питания стандарта ATX:

  Линия напряжения
  	+12В 	        +5В 	        +3.3В 	        +5VSB 	        -12В
  Диапазон отклонений
      ± 5% (± 0.6В) 	± 5%(± 0.25В) 	± 5%(± 0.165В) 	± 5%(± 0.25В) 	± 10%(± 1.2В)
  Минимальное напряжение
  	11.4В 	        4.75В 	        3.135В 	        4.75В 	        10.8В
  Максимальное напряжение
  	12.6В 	        5.25В 	        3.665В 	        5.25В 	        13.2В

• Проверить ошибки в журналах со стороны видеодрайверов — можно попробовать переставить дрова, обновить их или откатить на старую версию. Аналогично с виндой — переставить или протестировать винду/линукс с флешки.
  
• Попробовать заменить кабель и/или порт, к которому подключён монитор.
  
• Проверить работу со вторым или другим монитором.
  

Если ничего не поможет — возможно видеокарта уже помирает или на грани. Нести в СЦ на глубокую диагностику. Я бы предположил, что проблема может быть в HDMI/DP контролёре или в материнской плате/PCI-E слоте.

Идёте к своему руководителю, объясняете ему проблему и, если он согласен, что вам необходим удалённый доступ, то уже он ставит задачу вашим админам организовать всё необходимое.
Если руководитель считает, что доступ вам не нужен, то и нарываться на неприятности нет смысла.

Если kms свитч умеет передавать клавиатуру и мышку по usb, то типовые радиодонглы для подключения беспроводных клавиатур и мышек будут работать нормально, так как с точки зрения компьютера (и свитча соответственно) это обычная клавиатура.

Под маленьким вопросом только составные устройства (когда один usb донгл обслуживает мышку и клавиатуру, так же некоторые мыши могут симулировать клавиатуру, или к примеру клавиатура может идти с рычажком симуляции мыши).

с bluetooth уже совсем без гарантий, нужно читать спецификацию kms устройства, на сколько он способен транслировать универсальный usb... но шансы есть, например вставь флешку, если она заработает и будет переключаться, то будет все норм.
p.s. при этом есть шансы что устройство будет в лучшем случае usb2.0 но скорее всего usb1 со скоростью 1 мбит

Нельзя.

Выдает ерунду потому что в 99,(9)% ноутах HDMI исключительно выход, и никак программно (да и аппаратно, разве что оторвать LVDS/eDP от материнки и поставить отдельный адаптер) это не изменить.
Самый простой способ - карта видеозахвата и OBS Studio.