CityCat4

Для начала - в почтовые логи

Есть подозрения, что проблемы в почтовом сервере, но я в серверах не разбираюсь

Ну так наймите того, кто разбирается. На сервере запросто может стоять защита от таких вот умников - не более N писем в M времени. Ну и сказали уже - делать такие вещи с боевого сервера - прям напрашиваться на попадание в SORBS, SpamHaus, Barracurda и прочие "черные списки"...

ClawsMail, KMail

Чем TB не устраивает?

но свой ящик, подсознательно, воспринимается как что-то приватное

Неверно. Ящик на бесплатном почтовом сервере не является Вашим, никогда не был Вашим и никогда не станет Вашим. Провайдер может сделать с ним все, что угодно

Приватным будет ящик на сервере, стоящим дома.

Зимбра. Правда клиента их почтового сразу ф топку

Поставить свой почтовый сервер.
Сделать общий ящик алиасом с групповой рассылкой всем кому надо.
И крутить права как хочется.

Бесплатная почта mail.ru не предназначена для бизнеса. От слова совсем. Даже допустим Вам пиливать на то, что mail.ru читает Ваши письма (а она читает). Почта mail.ru рассчитана на персональное использование (как и любая почта вообще, там правда IMAP несколько решает). И никак это не обойти.

Есть почтовые сервисы для бизнеса, я их не пробовал, но они есть, платные скорее всего

Можно :)
- Написать в mail.ru :) Если работаете в соответствующей структуре :)
- Познакомиться с админом, напоить его

Легитимных способов узнать, достпуных простому человеку - нет.

Максимальная длина подписи - три строки, все остальное как правило просто игнорируется.

В официальном письме у меня в подписи:
ФИО и адрес электронной почты (одна строка)
Должность - она у меня длинная (вторая строка)
Наименование компании, общий и добавочный телефон (третья строка)
Ну еще сверху - "С Уважением"

Всякие картинки и прочую байду режет TB - я их никогда не увижу, пока САМ не нажму кнопку :) Ссылки же и прочие рекламные тексты - верный путь попасть в папку "Спам" или быть пристреленным потоковым антиспамом.

Потому что так захотел администратор данного сервера. Уведомительные почтовые коды - это вообще такая странная штука, которую никто не мешает использовать так, как ему хочется. Вовсе не обязательно, что такого юзера не существует, возможно на данном сервере не хотят принимать почту, приходящую на этот адрес, а такой код поставили, чтобы быстрее отвязались.
Если есть работающий почтовый контакт или телефон - проще связаться таким образом, потому что средств воздействия у Вас нет никаких :)

Кроилово ведет к попадалову.

Поднять свой почтовый сервер. И уже на нем развернуть любую систему фильтрации по любым признакам. Я использую черные списки spamhaus, spamcop, dnsbl плюс greylisting. Правда наличие greylisting заметно осложняет отношения с mail.ru и некотрыми другими "особо умными" почтовиками, которые клали вооооот такой болт на почтовые стандарты...

Такого сервиса нет. И видимо уже никогда не будет.

И вот почему.

Когда еще не было спама, все вели себя честно, соблюдали RFC и получив в ответ User unknown, Вы могли с уверенностью сказать - такого юзера нет. Сейчас, когда методы защиты от спама становятся все изощренней, а методы спамеров соответственно тоже не стоят на месте - нет никакой гарантии, что User unknown означает что ящика не существует - он запросто может существовать и активно использоваться - но Ваше письмо не прошло по неким критериям, и чтобы Вы отвязались - получаете User unknown.
Ровно точно так же прием письма сервером совершенно не означает, что письмо прочитано пользователем. Оно может быть доставлено боту, оно может погибнуть в антиспам-фильтре, оно может быть тупо сброшено в /dev/null - без какого-либо уведомления. Пользователь мог давно уволиться, а почта перенаправляться другому или даже просто в помойку.
Елинственный способ - это получить обратную связь от адресата. Пусть кликает на ссылку - если не кликнул в течение какого-то интервала времени - значит аля улю.
В нынешних условиях почта не может являться бизнес-инструментом - слишком много факторов, не зависящих от текущего момента, чтобы письмо не дошло.

Нет административного ресурса? Если нет, то никак - нет обратной связи, юзер увидит, что может забить на требование - и непременно забьет :)
Для Outlook есть политики и общие шаблоны. Для TB есть принудительно настраиваемые параметры профиля, которые запрещено редактировать. Для ЯП не знаю что там есть, но если она корпоративная - там должна быть единая админская морда.

Но еще раз - без соблюдения Принципа Первого Руководителя все Ваши старания превратятся в "пшшшш..."

Бесплатную почту и будут часто блокировать - потому что больно много на ней спамеров заводится.

gmail for work...безопасную почту...

Это только я вижу парадокс в таком сочетании? Безопасной почта будет на своем собственном сервере - и то, если настроить правильно. Gmail for work безопасным быть не может. По определению.

Ставьте свой почтовик и разруливайте сами отправку. Кстати, Вы премодерацию в каком виде хотите? Постфактом, копию письма товарищу майору? Или сначала товарищ майор должен одобрить?

SPF и DKIM-записи можно проверить здесь