Как решить уравнение с параметром с помощью матана?
Здравствуйте, не могу решить такую задачу:
Найти все значения параметра а, при которых уравнение x^3-ax-1=0 будет иметь единственное решение.
Т.к. задача находится в теме экстремумы функции/возрастание и убывание, то подозреваю, что через них и решается. Насколько я понимаю, то нужно копать в сторону того, что если у данной функции будут экстремумы, то они должны быть строго меньше нуля, а если экстремумов нет, то функция строго возрастающая => единственное решение.
Если подскажете хотя бы куда думать, чтобы решить, буду безмерно благодарен
Дуга между точками экстремума не должна пересекать ось абсцисс, то есть точки экстремума должны находиться в одной полуплоскости (любой из двух) относительно этой оси.
Кубическая функция с первым коэффициентом 1, как у вас, уходит в минус бесконечность слева и плюс бесконечность справа. Она может не иметь экстремумов или иметь два - максимум левее минимума.
Если экстремумов нет - будет возрастающая функция, с одним вещественным корнем всегда. Если экстремумы есть, то надо или чтобы они оба были меньше 0, или оба были больше.
Вот, возьмите производную, найдите когда у нее есть корни и где они. Подставьте их в исходную функцию и найдите экстремумы - будут выражения от a. Дальше составьте условия: или корней нет, или они есть и максимум меньше 0, или они есть и минимум больше 0. Решите неравенства и найдите интервалы для a.
Не могу быть уверенным, что моё решение подойдёт, но оно самое простое и, можно сказать, тупое.
1) Изучив основную теорему алгебры, приходим к выводу, что задача не решается, т.к. корня всегда будет три.
2) Найдём корни по формуле Кардано.
3) Возможно, нужно, чтобы все три корня совпадали. Поэтому просто приравняем x1=x2=x3 и найдём параметр a.
Griboks, А чем не подходит вариант одногократного вещественного и двух комплексных корней? Потому что трехкратный корень у такой квадратичной функции, очевидно, никогда не существует.
