Последовательности цифр в десятичном представлении степеней двойки?

Question

[m03r]

Собственно, такой вопрос: для любой ли последовательности десятичных цифр можно указать такую степень двойки, в десятичном разложении которой она будет встречаться? И ещё: каким именно образом такой показатель степени можно вычислить? Меня также интересуют всевозможные материалы, имеющие отношение к вопросу.



01234567 встречается в...2⁹⁴⁸⁵ = 1859982563243374877679850999553024906653744380733358402720842703974843277900058649­3407235448202172091160743966563088745480884185552788266716377139872057602740266958­0169039741850993940761617266622811864429881040671809439489622393109013165551200850­8333809335073255585715055646245773919297339596182461449772419133096590229127975483­9927621157053472902049107135119129088963612643330769518971309913748357060166170827­3284507717023825388442891120735386162916399105393565702147204919204927037121724215­2871967889046080569059475361304495973589494496160518319079867671755946195837665254­6361732912714450351876365994227726903890545923092798966198728532962518757482476928­8742763270245087547284539662518984216055365623621696956211603615545283516573789156­6946576710089970405729890223892956997217997507785066037011844194812636734896642110­3383771578258525497356902798234187457942095399926674424929967327907576347999492749­8175002546738750955162901979077216015752598528464831465168854992680865829997423875­9092708859109657295723508302370453694497762771744557207705682106910062970774760424­8393932652685197930709075080006195655060355650127022475081909494221362911809990917­7325337246786615531361534246491968360262811812215298071568437104822874348012370836­2281215898227800449877308112932261365502716949639341863967598771433597740152384715­8673099053655633274471740589792589567506976567718589013602405430228034751502330188­20131387350123456745364438435007240733122008440704365447683215657306447909341235­9566000367219471849493579607857431356945754120932339348464427228690588395786222460­6143980132378110678144627933700780795461464687395574955151452186658576874935551479­3159612970643311221407936507488729701250109946158417769710018365517199806457548361­9395887245798393805216055166621406568485230312815008744420489075905727317385002931­3963600115272088506980655473444588000112953467252441483580477594551140995244830508­7233633028196879412701177605258262200418266191356385843265581762475059923570267434­2561610344738831816751185011073526914988785741282880590012267501437179410796730585­8958751351419788686382412392518412100273742588751822095524644476110440217857585827­4265479248659224866111417264368385594141959481105931393747854984091219413767515577­7101783207961976999960005178605165322277171261051288388982347967031946255005122447­4732291051859034097656799845251470736812586543469328564796307157930906773579236658­0918796012514985117499972354918253309000102690487133240799605094612717469216848165­6947072352480534147946918331858796896924808402216427537840195287136326768099655017­2515684287413252616824865750445523554101027217128922653049387983014376322390036509­7603287515643604067876815724043814063659448537113231154609935343463969750452190061­3733601413970626029526217559300367320312336657088230980107055454386920168336587837­5131751294372042353132928077347566058488076052266521358672510301765632

Answer 1

[Владислав]

Подсказка:
n = log_a aⁿ
a = b ^{log _ba}
Дальше уже использовать операции с рядами.

Начните доказательство для коротких последовательностей. Дальше с помощью дедукции найдите закономерности в количестве возможных степеней и т.д.

Answer 2

[Sirion]

Сузим задачу: будем искать степень двойки, которая начинается с нужной последовательности цифр (если последовательность начинается с нуля, добавим в начало единицу). Обозначим её за d. Тогда нам нужно найти такие x и y, что

d < 2^x/10^y < d + 1.

Пусть a = log₂10. Тогда

d < 2^{x — ay} < d + 1.

Логарифмируем по основанию 2:

log₂d < x — ay < log₂(d + 1)

Осталось подобрать x и y. В силу иррациональности a очевидно, что мы сможем их найти.