Сузим задачу: будем искать степень двойки, которая начинается с нужной последовательности цифр (если последовательность начинается с нуля, добавим в начало единицу). Обозначим её за d. Тогда нам нужно найти такие x и y, что

d < 2^x/10^y < d + 1.

Пусть a = log₂10. Тогда

d < 2^{x — ay} < d + 1.

Логарифмируем по основанию 2:

log₂d < x — ay < log₂(d + 1)

Осталось подобрать x и y. В силу иррациональности a очевидно, что мы сможем их найти.