Как понять комплексные числа?

Question

[DmitryProsh]

Не могу понять, что из себя представляет комплексное число.

Я воспринимаю его как просто такую структуру

class {
int x, y;
}

Например, в Unity есть класс Vector3 и 2 - это и есть эти комплексные числа?
В примерах которые смотрел, на графиках комплексные числа рисуются именно так как в моем примере, и таким образом, получается задается направление.

Помогите пожалуйста!

Comments

[nirvimel]

Сколько измерений имеет комплексная координатная «плоскость»?

Answer 1

[Павел]

Может быть я буду неправ с точки зрения прошаренного математика, но я представляю комплексные числа, как двумерные числа. Грубо говоря, для обычных чисел мы можем нарисовать прямую, где то, что слева - меньше того, что справа. А вот для комплексных чисел нужна уже плоскость, и там привычные больше/меньше не работают. Нужно вводить новые определения для нового "больше", и нового "меньше".

Зачем это все надо? В них проще тригонометрия и всякие там хитрые штуки считать. На бумажке быстрее. Как научить комлюхтер и языки программирования это дело воспринимать -- не знаю. Возможно, это лишь абстракция, и никаких ускорений в вычислениях нет, только визуально приятнее тем людям, кто в комплексных числах привык считать.

Есть еще большая жесть, где число вида a + bi + cj, ну или, для особых эстетов, когда число есть сумма из неограниченных итых, житых, катых, и прочих -тых.

Comments

[Сергей]

Как специалист в комплексных числах, говорю что этот ответ самый верный

[follow39]

Эта жесть - кватернионы.

Answer 2

[Дмитрий Макаров]

Комплексные числа отличаются от обычного 2d-вектора. 2d-вектор - это просто упорядоченная пара действительных чисел. А комплексное число хоть и является 2d-вектором (в этом понимании), но для него заданы еще некоторые правила. Например, что вы можете сказать об умножении 2d-на себя (ну, то есть возведение в квадрат)? Практически ничего. Потому что, в общем, для него не определена эта операция (хотя никто не мешает доопределить, но это будет уже не совсем 2d-вектор). А вот для комплексного числа возведение в квадрат очень даже понятно что это.

Если следовать вашей логике представления комплексного числа как структуры, то тут больше все же подойдет класс с переопределенными операциями: сложение и вычитание (это и для 2d-вектора аналогично), умножение, деление, степень, корень, логарифм......плюс надо не забыть про экспоненциальную форму (хотя с точки зрения 2d-вектора - это всего лишь длина и ориентация).

P.S. Я читал про разных математиков, про то как они работают с математическими абстракциями. Есть те, которые фантазируют, представляют себе все это, а есть которые используют операционалисткий подход: "я не знаю что это, но я знаю как с этим работать". Первые открывают новые математические горизонты, а вторые ставят новые теории на прочные научные рельсы и пишут толстенные монографии. Понятное дело, что это крайности и обычно каждый математик как-то визуализирует себе то, с чем он занимается....

Answer 3

[RedHairOnMyHead]

Любой учебник по математике откройте за 10-11 класс и почитайте, что такое комплексные числа.
Комплексное число имеет вид a + bi, где a и b действительная часть, а i - мнимая единица (квадрат этой единицы равен -1).

То что вы написали, не является структурой.

Comments

[DmitryProsh]

Хорошо, вектор является комплексным числом?

[dom1n1k]

Вектор может быть одной из форм представления комплексного числа, но вообще это разные понятия.

[RedHairOnMyHead]

DmitryProsh: нет, не является. Как уже написали выше - это разные понятия. Я не стал об этом говорить, т.к. это нужно лезть в комплексный анализ, там это более подробно рассматривается. Но.. может кто сможет проще объяснить.
И все же воспользуйтесь советом, да откройте учебник.

[daniilorain]

вектор(радиус-вектор) является модулем комплексного числа, то есть есть ось вещественных чисел(X) и ось мнимых чисел(Y), и, например, есть у нас число 1 + 6i, тогда выбираем 1 по х и 6i по y(все равно, что 6, но с i), и проводим радиус-вектор с 0 до этой точки. Отсюда выводится геометрическое представление комплексных чисел (через модуль и два катета по двум осям)

[Дмитрий Макаров]

daniilorain: надо быть аккуратнее в определениях. Модуль комплексного числа есть действительное число. Как может быть действительное число вектором непонятно. Модуль комплексного числа - это длина радиус-вектора в геометрическом представлении комплексного числа. Опять же сам радиус-вектор не является комплексным числом.

Answer 4

[evgeniy_lm]

Все очень просто

Answer 5

[aspirinchikc9h8o4]

Так вот же есть на Ютубе. Тут более чем подробно представили геометрический смысл комплексного числа.

https://www.youtube.com/watch?v=b3adw5igSzI

И ещё (на анг языке есть русские субтитры)

https://www.youtube.com/watch?v=T647CGsuOVU