Почему корень найден с заданной погрешностью?

Question

[shyloser]

Есть такой интерфейс программы:


Программа реализует bisection method.
Нужно доказать используя данные с интерфейса, почему корень найден с такой погрешностью.
Другие формулировки: почему корень найден с заданной погрешностью, почему корень найден именно с такой погрешностью.

P.S.: Если поможет: то что примерно сказал профессор, который задал вопрос: доказательство исходит или следует из доказательства того, что x* корень. А также совет от него же: нужно узнать, как находится корень уравнения в компьютерной арифметике.

P.P.S: Банальные ответы по типу: он находится потому, что мы сами задаём погрешность или ты же это в доказательстве написал не приветствуются, потому что я уже большинство вариаций и формулировок этого перепробовал (gpt не поможет, он немного глуп в этом или я не такой промт писал для запроса, не знаю).

Answer 1

[SunTechnik]

Суть метода половинного деления заключается в том, что мы находим новые граничные a и b, между которыми находится корень уравнения. (значение целевой функции от a и b имеют разный знак)
Как только разница между a-b становится меньше заданной точности, значит отклонение a и b от корня не превышает заданной точности.
В интерфейсе показана разность между найденными a и b.

Comments

[shyloser]

Благодарю за ответ, но что-то похожее на ваш ответ я уже говорил, я конечно попробую сказать это в вашей формулировке

[SunTechnik]

shyloser, Если тему сдаёте лектору, а лекции не посещали, то от Вас могут ждать некого ключевого слова/термина (о-малое, епсилон окрестность итд., может быть даже его собственный термин). Не зная Вашего ответа и репутации профессора трудно оценить реальную ситуацию.

[shyloser]

Прошу прощения за неточное высказывание, я то лекции посещал, но на них, он в основном говорил про свою жизнь и его отличных выпускников, что конечно же не по теме, но не суть.
Прошу вас, вы не могли бы ответить более абстрактно, то есть не придерживаясь какого либо алгоритма отвечая на вопрос, так как он говорил, что в ответе не нужно упоминать конкретный алгоритм, либо метод так как вопрос не был связан с этим. Надеюсь, что я понятно объяснил, а не запутал ещё больше

[mayton2019]

Это преподаватель эту функцию придумал? Не нравится мне эта функция. И выбор интервала
тоже не нравится.

Бисекция ищет только одно сечение графиком оси ОХ. А здесь не доказано что там одно сечение.
А вдруг их больше? Какой из корней будет найден?

Answer 2

[Олег]

Из школьного курса можно представить
по отдельности графики (парабола и синусоида от -4 до 4)
оба графика проходят через точку [0,0].

алгоритм начинает делить отрезок [-1;1] по полам. Х=0
считает Ф(0) и тут значение у нее 0.
Если бы погрешность считалась как EPS y, то алгоритм тут бы и завершился.
Алгоритм же сделал 94 шага
2^94 = 1.98E28
и такую точность мы видим как заданную слева и справа как (b-a) - размер интервала