Задался вопросом: почему можно подставлять переменные в системах уравнений, вроде бы со школьных годов довольно естественное действие, но сходу ответить на вопрос не смог, поэтому решил более формально разобраться в этом
Дана система уравнений (далее, чтобы ссылаться указаны номера исходных уравнений)′:
f(x,y) = 0 (ур-е №1)
g(x,y) = 0 (ур-е №2)
1. Пусть удалось в явном виде выразить из №1 x = f′(y)
2. Подставив в №2, получим g(f′(y), y) = 0
3. Найдём все корни g(f′(y), y) = 0 Y = {y0, y1, ... yk}
4. Для каждого yi из Y вычислим xj из x = f′(y), получим пары XY = {(x0, y0), (x1, y0), ... (xl, yk)}. Это некоторые решения исходного №1
5. В g(f′(y), y) = 0 заменим f′(y) на параметр x0 (это можно сделать, т.к. мы нашли в пункте 4 такие xi, что f′(yi) будет равна некоторому xj), а y заменим на параметр y0. Имеем параметрическое уравнение функции с параметрами x0, y0 g() (которое имеет решение для любого элемента XY, т.к. g(f′(y), y) имела решения для компоненты yi, а xi на который заменили f′(y) это просто значение f′(yj)), теперь делаем очевидное замечание что данной параметрическое уравнение x0, y0 g() является исходным уравнением №2, а значит решается для любого XY, и №1 тоже решается для любого XY (пункт 4) а значит это некоторые решения исходной системы.
6. Пусть был не найден какой-то корень системы, тогда существует yi, который бы дал xj при подстановке в x = f′(y) (xj=f′(yi)). Но тогда можно №2 (g(x,y)) представить как g(f′(y), y) (те же рассуждения, что и в пункте 5) и будет g(f′(yi), yi) = 0, но в 3-м пункте были найдены все корни №2. Противоречение. Итого, в пункте 5, найдены некоторые решения исходной системы, но из 6-го пункта вытекает что других нет, значит это все решеничя исходной системы
Получилось как-то громоздко для такого простого факта, может быть я что-то очевидное не замечаю и это можно в одно предложение доказать ?
Факты не надо доказывать. Факт - это заведомо достоверное данное о событии или явлении.
В математике доказывают или опровергают теоремы, то есть предположения.
После пункта 4 вам надо лишь доказать, что найденные xi yi будут всеми решениями системы. Допустим есть какое-то еще решение {x' y'} не среди xi, yi. Но, раз оно удовлетворяет f(x',y')=0, то x'=f'(y'). Еще оно удовлетворяет g(x',y')=0, а значит и g(f(y'),y') = 0, т.е. вы бы это y' нашли среди ваших yi, но мы предположили обратное.
С 6-м пунктом ещё ладно, просто проверил на всякий случай. А вот разве есть какое-то очевидное следствие что g(f′(y), y) = 0 <=> g(x,y) = 0, ради этого же затевался 5-й пункт
floppa322, Ну так у вас же x = f'(y). В этом случае g(f′(y), y) = 0 <=> g(x,y) = 0 ибо подстановка. Это какая-то аксиома, наверное, равные буковки можно использовать взаимозаменяемо.
Wataru, ну вот я с этим и хотел разобраться как раз, есть ли какое-то простое алгебраическое объяснение, чтобы не получилось как основной теоремой арифметики, что все считают, что это аксиома и её не нужно доказывать
я рассуждал, что если решилось f(x,y) = 0, g(f′(y), y) = 0 то g(f′(y), y) = 0 некоторое другое уравнение и нужно бы показать, что оно является эквивалентным относительно g(x,y) = 0, ну то есть понятно, что можно делать эквивалентные преобразования с одним уравнением, например x= f'(y) <=> f(x,y), тут всё понятно, но вот имея систему, которая является лишь обозначением пересечения множества решений уравнений, просто так на веру утверждать, что подстановка переменной из 1-го уравнения в другое это то же эквивалентное преобразование, что и с x= f'(y) <=> f(x,y), как я понимаю нельзя.
Но вот вопрос-то как раз в этом, если подстановка переменной это что-то совсем простое, как например, отнять по X с обоих частей уравнения и объясняется в одно утверждение, то я как раз и хотел понять в какое :)
если подстановка переменной это что-то совсем простое, как например, отнять по X с обоих частей уравнения и объясняется в одно утверждение, то я как раз и хотел понять в какое
floppa322, подстановка -- это переход от рассмотрения всех пар (x, y) в уравнении g(x, y) = 0 к рассмотрению только тех, которые удовлетворяют условию f(x, y) = 0.
floppa322, Подстановка в уравнение - это логика. Если вам говорят, что C=A, то можно вместо A написать C везде, где выхотите. Просто формально заменив буковки на равное им же значение. Вы же при урпощении выражения (X+Y)^2-2XY = X^2+Y^2 при раскрытии скобочек пользуетесь тем, что (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ничего не доказывая?
hint000, Нет, тут надо доказывать, потому что у вас есть lim f(x) = b. А заменяете вы в выражении "lim g(f(x))" совершенно другой набор символов "f(x)" (тут нет lim). Еще и заменяется он на y, который стремится к b, а не на b.
Это как раз мозговыносящие свойства пределов, с ними иногда нельзя работать просто как с числами. И поэтому с нотацией надо работать аккуратно, если вы lim вдруг выкините, то уже казалось бы можно будет применять подстановку согласно логике, и все сломается.
Но если у вас в каком-то выражении вдруг встретится именно lim f(x), то его можно даже не зная про пределы заменять на b.
Wataru, я имел в виду тривиальный случай, когда предел функции в точке равен самому значению функции в точке, если таковое значение определено. И что через это мы избавимся от предела и перейдём просто к значению функции в точке.
На самом деле да, я всё это прилично подзабыл за неиспользованием.
Средний
