Объясните доказательство теоремы из книги по матанализу?

Question

[MrOrkk]

В книге Ильин В.А. Позняк Э.Г.Основы математического анализа Часть I 2021 Есть теорема. Не понял в доказательстве последнюю строку: как из равенства в одной точке вытекает равенство последующих частных производных? Сначала подумал что может там равенство не в одной точке, а в окрестности, (если предположить что из n раз дифференцирумости следует что все частные производные до n-1/n-2 дифференцируемы в окрестности, но это тоже непонятно как обосновать)