Где найти параметрическое уравнение элипса в трехмерном пространстве?

Question

[Sandrot]

Доброго времени суток!) Не могу найти параметрическое уравнение элипса с трехмерном пространстве. Мне нужно написать прогу, которая сможет нарисовать вот это без использования библиотек, в которых уже есть готовые формулы:


Может кто-нибудь может подсказать формулы зависимостей между x, y, z и параметра t для такой фигуры)))

Comments

[Alexandroppolus]

Как задан эллипс? Координаты фокусов и длина чего-нибудь?

[Sandrot]

Alexandroppolus, да я сам не знаю как он задан) Я вот ищу уравнения, чтобы его задать. А на картинке просто рисунок.
Мне нужно похожее уравнение или система уравнений:

но для трехмерной плоскости

[hint000]

Sandrot,

да я сам не знаю как он задан) Я вот ищу уравнения, чтобы его задать

Вопрос не об этом. Есть несколько способов задать эллипс, в зависимости от известных параметров. Если никаких параметров не известно, то вы не можете его задать. Даже в уравнении окружности x^2+y^2=r^2, которое вы привели для примера, кое-что известно об окружности: радиус r, а центр в начале координат. Если бы не было этих сведений, то и уравнения этого не было.

Если не можете сформулировать чётко, то опишите своими словами начальную задачу (для чего вам нужен этот эллипс), может быть из этого станет что-то понятно.

В общем виде вы можете взять уравнение эллипса на плоскости, сама эта плоскость (в которой лежит эллипс) может быть тоже задана уравнением. Можно выполнить преобразования координат между системой координат OXYZ и системой координат O1X1Y1Z1 на основе плоскости эллипса. Для простоты можно даже выбрать оси эллипса лежащими на O1X1, O1Y1.

[Sandrot]

hint000, задан параметр t параметрического уравнения, радиус и серединная точка(из которой "растет" радиус). Нужно чтобы программа рассчитала все точки этого элипса.
Про плоскость я кстати тоже подумал: рассчитать двумерную плоскость в трехмерном пространстве, а на ней изобразить элипс в ее координатах x, y. Центральная точка плоскости будет центральной точкой элипса. Правильная же идея или есть способы проще?

А сама задача такая:
Разработайте небольшую программу на C++, которая реализовала бы поддержку иерархии 3D-кривых.
1. Поддержите несколько типов 3D–геометрических кривых - окружности, эллипсы и 3D-спирали. (Упрощенные
определения приведены ниже). Каждая кривая должна иметь возможность возвращать трехмерную точку и первую производную (трехмерный
вектор) для каждого параметра t вдоль кривой.

[hint000]

Sandrot, в такой формулировке вам действительно нужно в первую очередь делать преобразование координат. А общие параметрические уравнения всех названных кривых будут:
x=A*sin t
y=B*cos t
z=C*t
для окружности или эллипса C=0
для окружности или циллиндрической спирали A=B
для эллиптической спирали A!=B, C!=0

можно ещё попробовать на оценку "5+" сделать конические спирали:
x=t*A*sin t
y=t*B*cos t
z=C*t

Параметры A, B, С задаёте произвольно (т.е. пользователь задаёт).
Параметр t пробегает множество значений от (минус дофига) до (плюс дофига) с заданным шагом, для каждой полученной точки её координаты преобразуем к исходной системе координат.

[Sandrot]

hint000, A,B,C - это координаты серединной точки фигуры? А зачем преобразование координат делать, если формула

x=A*sin t
y=B*cos t
z=C*t

рассчитывает точки фигуры в трехмерной плоскости, как мне и нужно?)

[hint000]

Sandrot, нууу... x, y, z - это три координаты же, для трёхмерного пространства. Если z убрать, то не будет циллиндрических спиралей (а конические вырождаются в плоскую архимедову спираль). Круги и эллипсы по своей природе плоские.

[Sandrot]

hint000, вот я и хочу чтобы у точек круга и эллипса были координаты x, y, z))) Если круг и эллипс отрисовывать точками, то можно x, y, z использовать для каждой точки. А в итоге они получатся плоские.
По этой формуле:

x=A*sin t
y=B*cos t
z=C*t

так получится?

Кстати эта формула похожа на параметрическое уравнение винтовой спирали из Конспекта лекций Дмитрия Письменного:

[hint000]

Sandrot,

Кстати эта формула похожа на параметрическое уравнение винтовой спирали

В этом и смысл. При h=0 спираль вырождается в круг. Вам не нужны отдельные формулы, если можно взять одну самую общую. A и B вместо R позволяют рисовать не только круг, но и эллипс.

вот я и хочу чтобы у точек круга и эллипса были координаты x, y, z

У круга и эллипса координата z будет, :) просто она будет равна константе (в том числе нулю), если такая формулировка понятнее. Можете взять вообще любую фигуру на плоскости, добавить к ней уравнение z=Const (равно любой константе, не обязательно нулю) - и получите частный случай той же самой фигуры в трёхмерном пространстве.

[Sandrot]

Спасибо вам большое, у меня получилось вот так:

по такой формуле:

xx = r * Math.cos(t);
            yy = r * Math.sin(t);
            zz = 6 * Math.cos(t);

Ну и остальные фигуры тоже получились.
Теперь не могу сделать вот это:

Каждая кривая должна иметь возможность возвращать трехмерную точку и первую производную (трехмерный
вектор) для каждого параметра t вдоль кривой.

Можете подсказать, как найти эту производную (касательную к каждой точке)?
Я делал так:

x = -1 * r * sin(t)
      y = r * cos(t)
      z = cos(t)

но не во все точки таким образом выстраивается касательная