Проблема: "Из таблицы случайных чисел отбирают числа, кратные 4, до тех пор, пока их не наберется 600 штук. Оценить вероятность того, что для этого потребуется не более 2300 чисел."
Сначала подумал, что проблема решается с помощью интегральной теоремы, где k1 = 600, а k2=2300. Но, перечитав текст, увидел условие, что после 600 успехов эксперимент завершается, а значит решение неверное
Затем подумал, что можно применить локальную теорему для k=600 (фиксированного) и n=600, 601, 602...2300 и просуммировать эти вероятности.
Но, например для схемы Бернулли из n испытаний (фиксированного количества, а k(количество успехов) - переменная) мощность множества элементарных исходов будет 2^n и сумма вероятностей исходов будет 1. А если наоборот - количество успехов k - параметр, а n - переменная, то сумма (вероятностей) при n=k, k+1, k+2...беск. имеет ли какой-то содержательный смысл ? (то есть вообще, можно ли складывать вероятности для задачи выше при n=600, 601...2300)
Хм, но ведь в задаче сказано: "пока их не наберется 600 штук", то есть: как я понял, отбираются по одному, а не сразу, например, 2300 за раз и там ищется 600 нужных. А значит для случая, когда, например 601, 601, 800 и т.д. успехов модель построена неправильно, ну то есть должно быть p^600 * (1-p)^(n-600) * C(n;600), для всех n от 600 до 2300 (C(n;600) - это сочетания из n по 600)
Например, вероятность для числа испытаний n = 2000 будет включать вероятность для n = 1000, в том числе потому что для n = 2000 за первые 1000 испытаний может произойти событие для n = 1000. Поэтому вероятности для числа испытаний n от 600 до 2300 нужно суммировать, но так, чтобы учитывать дублирование, то есть тут нужна какая-то формула включений-исключения
floppa322, если продолжить испытания после 600 успехов, но результаты, условно говоря, никуда не записывать, то это всё равно что этих испытаний не проводили. Так что фиксированные 2300 испытаний ничего не ломают.
---------
Насчет суммы. Да, нужно фиксировать непересекающиеся события. Вероятность закончить игру на испытании N (где 600 <= N <= 2300) равна
P(N) = F(N-1, 599) * 1/4
F(N-1, 599) - вероятность, что на первых N-1 испытаниях было 599 успехов.
1/4 - это вероятность успеха в испытании N.
Такие варианты, очевидно, не пересекаются. Полная вероятность будет суммой
P =1/4 * sum[n = 599...2299](F(n, 599))
F(N, 599) вычисляется по локальной теореме. Сильно подозреваю, что результат должен сойтись с вариантом 2300 испытаний.
если продолжить испытания после 600 успехов, но результаты, условно говоря, никуда не записывать, то это всё равно что этих испытаний не проводили. Так что фиксированные 2300 испытаний ничего не ломают.
я имел в виду, что взять и просуммировать бернулли для всех k от 600 до 2300 (то что и делает теорема лапласа) точно нельзя, как минимум потому что в задаче говорится, что попытки заканчиваются в двух случаях: либо мы таки нашли 600 чисел и завершились успхом, либо вытащили 2300 и не нашли и завершились неудачей. но про "никуда не записывать" если честно не понял
вообще, мне кажется в задаче имеется в виду, что берётся 2300 за раз и уже там ищатся 600 чисел, потому что она как раз из главы с теоремой лапласа
если я правильно понял рекурентную формулу F(i, j), где i - число испытаний, j - число успехов, а F - вероятность события при i и j, то F(i, j) считается просто по формуле бернулли, но тогда P(N) = F(N-1, 599) * 1/4 же будет вычисляться, как F(N-1, 599) * 1/4 и ещё это произведение нужно разделить на биноминальный коэффициент для i-1, j и умножить на тот же коэффициент но для i, j
Такие варианты, очевидно, не пересекаются. Полная вероятность будет суммой
P =1/4 * sum[n = 599...2299](F(n, 599))
floppa322, ладно, попробую сформулировать так: если ты для себя условишься, что даже набрав 600 успехов, всё равно продолжишь попытки до 2300, повлияет ли это на шансы? Если да, то как?
Но меня напрягает вот что: если считать по интегральной теореме лапласа, но в дискретном виде, то обозначив B(n, k) - вероятность по схеме бернулли для n испытаний и k успехов, то вероятность бы была: ΣB(2300, i), где переменная ряда i изменялась бы от 600 до 2300 и в этой сумме были бы в том числе, например, (1/4)^1000 * (3/4) * 1300 * C(2300, 1000) ну а с точки зрения задачи такое событие не могло произойти. Если есть объяснение, почему всё-таки могло то тогда бы стало понятно
Alexandroppolus, хотя кажется, я понял как можно рассуждать: если рассмотреть просто все последовательности длины N и из них нам подходят 600<=N<=2300 (у последовательностей N < 600 вероятность (нужного события) 0, а последовательности N > 2300 не нам не дадут) то B(n, k) была бы вероятностью какой-то "успешной" последовательности и тогда их бы можно было бы складывать
Ну или так: дали бесконечную последовательность, отрезали кусок на 2300 чисел, и так сделали, например, 10^12 раз, и спросили, какая доля этих кусков содержит хотя бы 600 чисел кратных 4
