Как узнать могут ли 2 квадратных уравнения иметь общие корни?

Question

[calem]

Дело в том, что оба уравнения имеют 2 переменных: m, x, что делает вопрос сложнее
Вот сами уравнения:
1) x² + mx - 6 = 0
2) x² - 3x + 2m = 0
Причем нужно так же проследить изменение суммарного кол-ва корней в зависимости от переменной m

Answer 1

[Rsa97]

Находите решения (корни) обоих уравнений в общем виде, получаете две пары решений, приравниваете их попарно, получаете четыре уравнения, решаете их относительно m, получаете значения m при которых корни совпадают.
По количеству - для каждого уравнения записываете дискриминант, определяете его знак в зависимости от m, получаете диапазоны с нулём, одним и двумя действительными корнями. Затем смотрите пересечения диапазонов разных уравнений и выделяете точки с совпадающими корнями, полученные в первой части решения, находите области с разным количеством корней.
P.S. Общие корни есть при m = 1 и m = -3
x² + x - 6 = 0, x₁ = 2, x₂ = -3
x² -3x + 2 = 0, x₁ = 2, x₂ = 1
Общий корень x = 2.
При m = -3 уравнения становятся тождественными.

Answer 2

[lea]

Вычислите результант двух уравнений, он будет равен нулю тогда и только тогда, когда уравнения имеют общий корень.
См. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%B7%D...

Сами корни знать не обязательно, задача сводится к вычислению определителя матрицы специального вида, элементами которой являются коэффициенты уравнений.
См. https://mathworld.wolfram.com/Resultant.html
https://mathworld.wolfram.com/SylvesterMatrix.html

Можно воспользоваться Maple:
resultant(x^2+m*x-6, x^2-3*x+2*m, x);
solve(2*m^3+10*m^2+6*m-18 = 0, m);

Итого:
результант = 2*m^3+10*m^2+6*m-18
общие корни есть при m=1 и m=-3

Что касается подсчета кол-ва корней в зависимости от m - я бы не усложнял. Предлагаю сосчитать дискриминанты каждого уравнения, затем найти интервалы/значения m, при которых уравнения имеют 2/1/0 действительных корней. Отдельно подсчитать кол-во корней при m=1 и m=-3. Затем свести все выводы воедино.