Как бесконечное количество трехмерных пространств расположенных на четвертой оси образуют четырехмерное пространство?

Question

[lepestoklepestok]

На Википедии увидел строчки о том, что четырехмерное пространство возможно представить в виде бесконечного количество трехмерных, расположенных на четвертой оси. Но как? Покажу на примере, если мы имеем нульмерную точку, то сколько бы не помещали таких нульмерных пространств в линию, одномерное мы не получим, ибо точка изначально не имеет координат. В соответствии с этим примером можно опираться также и на другие размерности. Но самый главный вопрос, как? Как бесконечное количество трехмерных пространств расположенных на четвертой оси образуют четырехмерное?

Comments

[mayton2019]

Сложно ответить - как. Можно просто взять аналогию между двумерными миром (лист бумаги где живут
двумерные люди) и нашим миром.

И перенести эти аналогии на 3Д-мир и 4Д мир. Представлять визуально это невозможно. Мы не в состоянии
представить себе 4Д мир. Но аналогии будут работать например. 4Д-существа могут телепортироваться (исчезать
и появляться в нашем мире) если они владеют информацией например о кривизне нашего 3Д мира.
Находить короткие дороги.

[jcmvbkbc]

если мы имеем нульмерную точку, то сколько бы не помещали таких нульмерных пространств в линию, одномерное мы не получим, ибо точка изначально не имеет координат

"точка изначально не имеет размеров", как я понимаю имелось в виду. Это означает, что имея данную точку нельзя указать другую точку ближайшую к ней, потому что между любыми двумя точками есть бесконечное множество точек. Нельзя думать о точке как об очень маленькой штучке, это штука у которой нет такого свойства как "размер".
Если немного об этом подумать, то станет понятно, что простая интуиция может давать сбои при рассуждениях о бесконечностях.

Answer 1

[Griboks]

Человек не может представить четырёхмерное пространство. Но зато вы можете представить его модель, например как пространство + время или как поле четырёхкомпонентных векторов.

Answer 2

[VoidVolker]

Ну, точно так же, как например куча точек образует линию, а куча линий - плоскость, соответственно плоскости - трехмерное пространство. А трехмерное - четырехмерное и так далее. Или, например, как куча двухмерных листов в книге образуют трехмерную книгу. Условно и упрощенно, можно представить каждое пространство в виде куба, соответственно несколько трехмерных пространств можно представить в виде нескольких кубов расположенных рядом. Еще отличный пример проекция тессеракта, четырехмерного куба:

Comments

[lepestoklepestok]

но ведь точка не имеющая координат не может образовать координату.

[shurshur]

lepestoklepestok, есть отдельно точки, а отдельно множество кортежей 4 чисел, которые мы называем "координатами". Сами по себе точки пространства не имеют координат, они появляются как результат моделирования пространства на основе базиса (координатные вектора, координатные оси), и в зависимости от выбора базиса будут разные числа.

Что касается изначального вопроса, то тут чистая индукция: (n+1)-мерное пространство определяется через бесконечный (континуальный) набор n-мерных. Но нужно понимать, что индукционный переход всегда выполняется при некоторых условиях. В данном случае n>=0, причём n=0 можно рассматривать только с некоторой условностью, поскольку 0-мерное пространство, где кортеж координат состоит из нуля чисел, это довольно мутная штука. Так что я бы предложил n>=1 и базу индукции n=1 - так будет проще для начального понимания.

[lepestoklepestok]

shurshur, Хорошо,но почему тогда бесконечное количество n (n>=1) мерных объектов образуют пространство n+1 размерности? Ну или почему такое пространство можно так представить

[shurshur]

lepestoklepestok, потому что любой элемент множества R^n описывается кортежем из n чисел, а бесконечное количество (на самом деле не "вообще бесконечное", а именно континуум, эквивалент R) описывается ещё одним числом, поэтому получается кортеж n+1 чисел и пространство R^(n+1).

Размерность можно также представить себе как минимальное число векторов, на которые можно линейно разложить любой вектор. Очевидно, что n векторов легко найти: (1,0,...,0), (0,1,...,0), ... (0,0,...,1). Сделать меньше нельзя, так как очевидно любой из этих n векторов нельзя линейно разложить в остальные (потому что у k-го вектора на позиции k стоит 1, а у всех остальных там 0 и любая линейная комбинация векторов даст 0 в этой позиции).

Вообще, если эта тема интересна, советую почитать какой-нибудь учебник по линейной алгебре.