Как найти такой определенный интеграл?

Question

[Айнур Низамов]

Добрая ночь, возник вопрос как брать определенный интеграл такого вида:

Вот нахожу неопределенный путем подстановки t = tg(x), ответ совпадает с правильным ответом для него:

Дальше понятно что tg(2pi) = tg(0) = 0 и все как бы зануляется, хотя верный ответ pi/sqrt(5). Если пересчитать границы определенного интеграла (или как это называется) во время подстановки, то сразу же станет от tg0 = 0 до tg(2pi) = 0 и как бы площадь тоже будет нулевой.

Это нелегальная замена или что? Объяснения не нашел, все сайты без пояснения показывают ответ для определенного интеграла.

Answer 1

[Айнур Низамов]

Разобрался. tgx имеет точки разрыва при pi/2 и 3pi/2, поэтому надо было разбить на несколько интегралов и для каждого из них отдельно найти предел

Answer 2

[Максим Припадчев]

У меня сомнения насчет верности данного выражения все так онлайн калькуляторы его дают. Но, Основную теорему исчисления никто не отменял,
То что предлагают онлайн калькуляторы это конечное выражение где все замены сделаны, и далее при подстановке как вы верно заметили мы получим 0. Онлайн калькуляторы в это же время дают правильный ответ приблизительно 1.4 Это потому что не один онлайн калькулятор включая вольфрам ничего не куда не подставляет он использует алгоритмы приблизительного измерения интегралов.

Я в свою очередь использовал python модуль sympy для интегрирования. При интегрировании неопределенного интеграла я получил другое выражение

где atan - это arctan а квадратные скобки это абсолютная величина (выражение по модулю). Не смотря на всю некрасивость данного выражения, при подстановке

F(2*pi) - F(0) оно даст 1.40. F(2*pi) будет 0 а F(0) будет -1.40, ну и соответсвенно 0 - (-1.40) = 1.40

Что совпадает со всеми онлайн калькуляторами.

Comments

[Айнур Низамов]

В любом случае спасибо, разобарлся. Интеграл неопределенный верно был посчитан, но замена не очень корректная (потому что tgx не определен для pi/2 и 3pi/2). Надо было разбить на 3 интеграла и искать предел (т.е. решать как несобственный интеграл)

[Айнур Низамов]

Ну вот, если интересно вышло как то так

[Максим Припадчев]

Айнур Низамов, Все вот оно и сложилось, вы большой молодец, я упусти момент что tan не является непрерывной функцией на интервале интегрирования и надо разбивать по интервалам, и интегрировать, вот так несколько лет не интегрировать в ручную и забыть про это. Сейчас все вспомнилось. Опубликуйте свой комментарий ответом и отметьте его решением. Будет очень полезно, всегда надо проверять на непрерывность.

[Айнур Низамов]

Максим Припадчев, хорошо, спасибо за потраченное время!

Answer 3

[krypt3r]

Погуглите интегрирование периодических функций. Подынтегральное выражение в вашем примере как раз и является таковым с периодом π.

Comments

[Айнур Низамов]

Погуглил, не совсем то. Оказалось это несобственный интеграл