Как доказать то что множество не является линейно связным?

Question

[LoliDeveloper]

Допустим у нас есть плоскость R^2. Координаты точек (X, Y).
Область значений функции f(x, y) = 1/(x-y) будет представлять из себя R^2\{(x,y): (x-y) = 0}, то есть вся плоскость кроме прямой x=y. Понятно что такое множество не будет линейно связным так как между точками выше этой прямой и ниже её нельзя задать непрерывное отображение. Но как это строго доказать? Без всяких "очевидно" итп итд.
Картинка:

Answer 1

[LoliDeveloper]

Воспользовался теоремой о промежуточном значении для непрерывных отображений

Comments

[Wataru]

А вдруг непрерывное отображение, которое из связывает, где-то идет вертикально?

Вам надо взять f:[0,1] -> R^2, f(0) = (-1,1), f(1) = (1,-1).

Дальше ввести g(t) = f(t)_y - f(t)_x и там уже применять теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

[LoliDeveloper]

Wataru, а почему мы берём f:[0,1]? Отображение ведь по всей поверхности гулять может или я что-то не так понял?

[Wataru]

[0,1] - это параметр.

[LoliDeveloper]

Wataru, ааа, мы промежуток отображаем во всё R^2. Сильно. Спасибо)

[LoliDeveloper]

Wataru, А что не так с вертикальностью? Рассуждения с Xn = Yn всё равно ведь будет работать.

[Wataru]

LoliDeveloper, Если у вас функция R->R, то каждому x соответствует ровно один y. Вертикальный кусок это ломает.

И вообще, что такое n в вашем Xn = Yn? Если попытаетесь его формально задать, то и получите, фактически, параметрв функции [0,1] -> R^2.

[LoliDeveloper]

Wataru, с отрезком гораздо лучше согласен. Но там ведь требование не функции, а просто отображения, и тогда иксу можно сопоставлять хоть сколько игреков и всё хорошо, вроде.

[Wataru]

LoliDeveloper, Приведите определение "линейно связного множества".

[LoliDeveloper]

Wataru, пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.
Нашёл ещё определение через равномощность отрезку, но там тоже говорится про непрерывное отображение.

[Wataru]

LoliDeveloper, Вот вам и надо доказать. что для каких-то двух точек из разных полуплоскостей любая соединяющая их непрерывная кривая проходит через запрещенное множество x=y.

Вроде очевидно - раз на одном конце у кривой x-y > 0, на другом конце x-y < 0, и она непрерывна, то где-то будет ноль. Но как это доказать формально? Вот можно воспользоватся теоремой о промежуточном значении непрерывной функции. Для этого надо кривую переделать в функцию. Например, можно ее параметризовать от 0 до 1 и вот и вылезает непрерывная функция f:[0,1]->R^2, которую можно пределать в [0,1]->R навесив на нее сверху x-y.

Ваша попытка ввести функцию f:X->Y похожа на это, но недостаточно формальна и покрывает не все непрерывные кривые. Потому что кивая может проходить через один и тот же X много раз. А для доказательства несуществования вам надо показать, что абсолютно все кривые невозможны.

[LoliDeveloper]

Wataru, но я ведь правильно думаю что если под f: X-> Y мы понимаем не инъективную функцию (требующую строго на каждый X ровно один Y), а просто произвольное непрерывное отображение, то начинают охватываться все непрерывные отображения?

[Wataru]

LoliDeveloper, Нет. Отображение A->B сопоставляет каждому элементу A - один элемент B. Не подмножество, а всегда ровно один элемент.

Неинъективная функция X->Y значит, что разным X может соответствовать одинаковый Y. И это нормально (представьте параболу). Но это все-равно не позволяет иметь разные Y для одного X (это ближе к тому, что отображение Y->X, если оно есть - неинъективно)

Чтобы у вас одному X могли соответствовать много Y, вам надо определять ваше отображение как X->2^Y. Как тут вводить непрерывность уже не совсем понятно. И тем более непонтяно, как на подмножестве Y применять теорему о непрерывной функции. Вам нужно число, надо както взять x-y, но какой y из всех вариантов брать? Это все, конечно, можно формализовать, но вы замучаетесь.

Лучше возьмите определение непрерывной кривой и пляшите от него.

[LoliDeveloper]

Wataru, да, я так и сделал, спасибо. Может напишите вариант с параметром из отрезка в ответы?

Answer 2

[Wataru]

А вдруг непрерывное отображение, которое их связывает, где-то идет вертикально?

Вам надо взять f:[0,1] -> R^2, f(0) = (-1,1), f(1) = (1,-1).

Дальше ввести g(t) = f(t)_y - f(t)_x и там уже применять теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Answer 3

[AVKor]

Это пространство не является связным, потому не является линейно связным.