Как найти такие натуральные числа n, при котором выполняется равенство a^7 + a^3 = a^n + 1?

Question

[Mr Asasin243]

Число a - корень уравнения x^13 + x^10 + x^7 = 1.
Нужно найти такие натуральные числа n, при котором выполняется равенство a^7 + a^3 = a^n + 1
Как впринципе рассуждать при решения данной задачи?
Я не знаю как мне даже подступится к решению, единстве я преобразовал выражение: a^3(a^4 + 1) = a^n + 1

Answer 1

[Alexandroppolus]

очевидно, а не равно 0, то есть далее на него можно делить.

1) a^13 + a^10 + a^7 = 1 (если а - корень уравнения, то такое равенство имеет место)
2) a^7 + a^3 = a^n + 1

вычтем первое из второго
a^n = a^3 - a^13 - a^10
или
a^3 - a^n = a^13 + a^10

разделим это на a^3:
1 - a^(n-3) = a^10 + a^7

из равенства (1) следует, что
a^10 + a^7 = 1 - a^13

1 - a^(n-3) = 1 - a^13

n-3 = 13
n = 16

есть ли другие подходящие n, пока непонятно. Уравнение в условии на самом деле имеет один действительный корень и 12 комплексных. Могут ли комплексные дать какое-то другое решение, сказать не могу.

Comments

[Wataru]

Вы получили a^n=a^16 используя только преобразования без случаев, поэтому других вариантов нет. Но, кроме 16 могут быть дргие ответы, если a^k=1. В частности, для вещественных, если a=1, то n может быть любое. Но в этом задании видно, что a!=1.

С комплексными - если a корень из 1, то есть и другие ответы.

Можно доказать, что других комплексных вариантов нет. Если |a|!=1, то n - только 16. Если же модуль 1, то надо взять аргумент от обеих частей и получится, что (n-16)x =2 pi k, где x= Arg(a), k - целое.

Это имеет отличные от n=16, k=0 решения, если x= 2pi k/(n-16), т.е. a - корень из 1.

Теперь осталось доказать, что заданному уравнению не полходят корни из 1.

[Alexandroppolus]

Wataru,

Теперь осталось доказать, что заданному уравнению не полходят корни из 1.

если я правильно понимаю, если x - корень из 1, то числа x^13, x^10 и x^7 лежат на окружности радиусом 1, и угол от x^7 до x^10 точно такой же, как угол от x^10 до x^13.

тогда x^7 + x^13 = p * x^10, где р - некое вещественное число от -2 до 2

обозначим x^10 как z

z * (1 + p) = 1
z = 1/(1 + p)

очевидно, Im(z) = 0, Re(z) = 1, то есть z вещественное. Тогда либо z = 1, либо z = -1

если x^10 = -1:
тогда x^13 = x^7 = 1, но это невозможно, т.к. тогда получается, что х = 1, а это не подходит.

если x^10 = 1:
тогда x^7 = i, x^13 = -i (или наоборот). Это тоже невозможно, так как тогда должно быть x^6 = -1

вот так и получается, что корни из 1 не подходят.