Как работает умножение вероятностей?

Question

[Dmitriy Grape]

Известный факт, что «Вероятность возникновения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей их возникновения», но я нигде так и не увидел объяснения этому. Везде где я смотрел приводится только сама теорема и формулы, но никаких доказательств.

Я могу понять вероятность возникновения либо события A, либо события B. Очевидно, что это сумма их вероятностей. Но вот с произведением всё никак не могу разобраться.

Answer 1

[Griboks]

Всё очень просто выводится из определения вероятности: вероятность - это отношение количества благоприятных исходов к количеству экспериментов, p=n/m. Отсюда следует, что для двух независимых событий p1=n1/m1, p2=n2/m2 количество благоприятных исходов n=n1*n2 (т.е. при каждом любом благоприятном исходе события 1 нас удовлетворит абсолютно любой благоприятный исход события 2), а количество экспериментов - m=m1*m2. Тогда p=n/m=(n1*n2)/(m1*m2)=p1*p2.

Это обычная комбинаторика. Ещё раз обращаю внимание, что для любого конкретного отдельного благоприятного исхода события 1, например #456, нас удовлетворит любой благоприятный исход события 2, например #789. Это означает, что общий исход #123 & #789 отличается от общего исхода #456 & #789, поэтому всего таких комбинаций n1*n2, а не (как вам кажется на первый взгляд) n1+n2.

Answer 2

[hint000]

Возможно, элементарный пример поможет понять.
Вы подбрасываете монету (обычную, дающую вероятности 0.5 и 0.5).
И ваш друг подбрасывает другую монету (тоже обычную).
Какова вероятность, что обе монеты упадут орлом вверх?
Всего вариантов 4: (решка и решка), (решка и орёл), (орёл и решка), (орёл и орёл).

Answer 3

[mayton2019]

Я могу понять вероятность возникновения либо события A, либо события B. Очевидно, что это сумма их вероятностей. Но вот с произведением всё никак не могу разобраться.

Ты ошибся.

Если вероятность события P(A) = 0.6 и P(B) = 0.7 то по твоей логике мы получаем величину больше 1.0 после суммирования. А это невозможно. Значит что-то не так.

Суммируется не ВЕЛИЧИНА вероятности. А ищется вероятность
- совместного наступления независимых событий
- появления хотя-бы одного из двух независимых событий или двух одновременно

И дальше идут формулы полной вероятности и Байеса для со-зависимых событий.

Comments

[hint000]

Если вероятность события P(A) = 0.6 и P(B) = 0.7 то по твоей логике мы получаем величину больше 1.0

Автору вопроса следовало добавить, что события A ("матч выиграл Спартак") и B ("матч выиграл Зенит") взаимоисключающие, тогда с суммой было бы всё в порядке.

Answer 4

[AVKor]

В. Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. Глава 3.