Как вычислить сумму бесконечного ряда, используя смешанный способ и общую формулу для вычисления члена ряда. Как найти рекуррентную формулу?

Question

[Axretit]

Нужно решить сумму бесконечного ряда при этом, хорошо бы расписать каждый шаг. Не могу разобраться нормально как выводить формулы...
Нужно найти рекуррентную формулу и показать как она выводилась. Также из условия видно, что нужно воспользоваться смешанным способом и общей формулой.

Comments

[Wataru]

Что за смешанный способ?

Answer 1

[Rsa97]

Рекурентная формула - это выражение члена последовательности через функцию от его номера и значений предыдущих членов.
z_n = f(n, z_n-1, z_n-2, ...)
В вашем примере общей рекурсии не получается, надо разбить на части и найти рекурентную формулу для каждой из них. Выделим часть формулы, где n используется в показателе степени и часть, где n в основании степени.
z_n = a_n/b_n
a_n = (-1)ⁿx^2n-1
b_n = 4n²-1
Для a_n рекурентным будет умножение. Разделим член последовательности на предыдущий.
a_n / a_n-1 = ((-1)ⁿx^2n-1) / ((-1)^n-1x^2n-3) = -x²
Для b_n рекурентным будет сложение. Вычтем из члена последовательности предыдущий.
b_n - b_n-1 = (4n² - 1) - (4(n - 1)² - 1) = 8n - 4
Получаем
a₀ = 1/x, a_n = -a_n-1x²
b₀ = -1, b_n = b_n-1 + 8n - 4
z_n = a_n / b_n
Остаётся записать это в программу.

Answer 2

[Wataru]

Понятия не имею, что за смешанный способ вам нужен, но сумму этого ряда можно найти два раза взяв производную.

Пусть f(x) - ваш ряд. Тогда f'(x) = sum (-1)^n x^(2n-2) / (2n+1)

Чтобы совсем избавиться от знаменателя надо бы, чтобы степень была 2n+1. Можно этого добиться, домножив все на x^3. Потом можно опять взять производную.

(x^3 f'(x))' = sum (-1)^n x^2n = sum (-x^2)^n = 1/(1+x^2)

Теперь назад проинтегрировав это можно получить:
x^3 f'(x) = arctg(x)+C

При x=0 слева 0 - значит C=0.

f'(x) = arctg(x) / x^3

Отсюда можно найти f'(x): Зайдите на wolframalpha и введите integrate arctg(x)/x^3 dx (не могу дать прямую ссылку с запросом на wolfram, потому что мат-фильтр почему-то срабатывает на ссылку и не дает отправить ответ).

Чтобы найти константу, придется подставить, например, x=1 и найти сумму ряда a_n = (-1)^n/(4N^2-1). Это какой-то известный сходящийся рад, похоже. Опять, посмотрите на wolframalpha, введите там sum (-1)^n/(4*n^2-1), n=0 to infinity. В итоге получится, что там константа тоже 0.

Вот и получится, что f(x) =- (x^2 * arctan(x) + arctan(x) + x) / (2x^2)