Возможен ли треугольник по стороне, углу и пропорциональным сторонам?

Question

[alekseiami]

Здравствуйте.
Нахожусь в состоянии клинча. Не знаю даже, в какую сторону копать.
Есть три отрезка: a, b, c.
Отрезки a и b образуют между собой известный угол А.
Длина отрезка a также известна.
И известно, что b/c = k. Это k тоже известно.
Так вот. При каким условии из этих отрезков будет можно составить треугольник?
Спасибо!

Answer 1

[Wataru]

Треугольник можно составить из любых трех отрезков, пока выпонляется неравенство труегольника a+b > c, a+c > b, b+c > a. достаточно проверять только одно из них - максимальное число должно быть меньше суммы остальных. Но если не очевидно, какое из них максимальное, то можно проверять все три.

Итак, дано только A и k, так?

Чтобы как-то угол связать со сторонами надо воспользоваться теоремой косинусов:

c^2 = a^2+b^2-2*a*b*cosA.
подставив суда b=ck, получим
с^2 = a^2+k^2c^2-2*k*a*c*cosA

Это квадратное уравнение, связывающее C и A. Можно решить его относительно a (c - параметр) и вы получите а, выраженное через с.

Ну и в конце надо проверить, что a+b > c, a+c > b, b+c > a, подставив туда найденные формулы для b и a через c. В этих неравенствах будут известные cosA, sinA, k и неизвестная с. Поскольку тругольник по углу и соотношению сторон можно масшабировать, то неравнество должно выполнятся для всех c. Но на самом деле в этих неравенствах все c можно будет тупо сократить. Какие-то из них можно сразу же выкинуть, если рассмотреть 2 случая k>1 и k<=1. Ну а как их дальше решать - думайте сами.

Comments

[alekseiami]

Дано ещё a. :)
Спасибо! Кажется, это то, что нужно!

[Wataru]

alekseiami, Ну данное a на самом деле неважно. Ибо треугольник с углом и соотношением двух сторон можно как угодно масштабировать, что бы a нашлось заданное.

Или можно из квадратного уравнения решать C относительно A. Потом B = kC. А потом остается проверить, что неравенства выполняется. По идее A тоже должно сократиться.

[alekseiami]

Вот что у меня получилось. В данном случае известна сторона c, известен угол alpha при ней и известен коэффициент k.
Учитывается ещё и то, что угол alpha — это угол между известной стороной c и стороной b, которую нужно найти.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos\alpha
\newline
k^2b^2 = b^2 + c^2 - 2bccos\alpha
\newline
k^2b^2 - b^2 - c^2 + 2bccos\alpha = 0
\newline
(k^2 - 1)b^2 + (2ccos\alpha)b - c^2 = 0

Таким образом, я получаю элементарное квадратное уравнение. В принципе, если треугольник заведомо невозможен, то у данного уравнения нет корней (дискриминант отрицательный).