Как теперь вернуться обратно? Как узнать уравнение параболы в старом базисе?

Question

[MuffinLover3]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста Есть задача: Найти уравнение параболы, если известно, что она проходит через точки (0,0) (0,1), а прямая y = x-1 служит ее осью симметрии
Идея такова: повернуть базис на 45 и сдвинуть влево на 1

Вот тут я выразил новые координаты через старые и сразу подставил точки чтобы узнать уравнение параболы в новом базисе? Насколько верно и как нужно вернуться обратно в старый базис? Что-то туплю

Answer 1

[Rsa97]

1. Сместим систему координат вниз на 1.
x' = x
y' = y + 1
Обратное преобразование:
x = x'
y = y' - 1
Уравнение прямой: y = x − 1, y' − 1 = x' − 1, y' = x'
Переход точек: (0, 0) → (0, 1), (0, 1) → (0, 2)

2. Повернём систему координат по часовой стрелке на π/4.
x'' = x'⋅cos(π/4) − y'⋅sin(π/4) = x'⋅√2/2 − y'⋅√2/2
y'' = x'⋅sin(π/4) + y'⋅cos(π/4) = x'⋅√2/2 + y'⋅√2/2
Обратное преобразование:
x' = x''⋅cos(π/4) + y''⋅sin(π/4) = x''⋅√2/2 + y''⋅√2/2
y' = −x''⋅sin(π/4) + y''⋅cos(π/4) = −x''⋅√2/2 + y''⋅√2/2
Уравнение прямой: y' = x', x''⋅√2/2 + y''⋅√2/2 = −x''⋅√2/2 + y''⋅√2/2, x'' = 0
Получили, что прямая стала осью ординат.
Переход точек: (0, 1) → (−√2/2, √2/2), (0, 2) → (−√2, √2)

Уравнение параболы, симметричной оси ординат: y'' = a⋅x''² + b
a/2 + b = √2/2
2⋅a + b = √2
Отсюда a = √2/3, b = √2/3
y'' = √2/3⋅x''² + √2/3
x'⋅√2/2 + y'⋅√2/2 = √2/3⋅(x'⋅√2/2 − y'⋅√2/2)² + √2/3
x'² + y'² − 2⋅x'⋅y' − 3⋅x' − 3⋅y' + 2 = 0
x² + (y + 1)² − 2⋅x⋅(y + 1) − 3⋅x − 3⋅(y + 1) + 2 = 0
x² + y² − 2⋅x⋅y − 5⋅x − y = 0

Comments

[MuffinLover3]

А почему мы двигаем систему координат вниз?
Вообще по идее x` = x + 1

[Rsa97]

MuffinLover3, Можно вправо, принципиально ничего не изменится. Надо, чтобы центр координат лёг на заданную прямую, а куда именно двигать - разницы нет.

[Rsa97]

MuffinLover3, Да, и поворот на π/4, а не π/2. Написал неправильно, а значения синуса/косинуса подставил верные.

[MuffinLover3]

Я тут перерешал и что-то совсем другое получилось

[Rsa97]

MuffinLover3, После такого смещения получим:
x' = x + 1
y' = y
Обратное:
y = y'
x = x' − 1
Прямая: y = x − 1, y' = x' − 1 − 1, y' = x' - 2
После поворота ваша прямая перейдёт не в ось ординат (x'' = 0), а в прямую x'' = C. Соответственно, формула параболы будет y'' = a⋅(x'' − C)² + b

P.S. И точки тоже пересчитывать надо.