$myCurl = curl_init();
curl_setopt_array($myCurl, array(
CURLOPT_URL => 'http://target.site.com/form.php',
CURLOPT_RETURNTRANSFER => true,
CURLOPT_POST => true,
CURLOPT_POSTFIELDS => http_build_query(array(/*здесь массив параметров запроса*/))
));
$response = curl_exec($myCurl);
curl_close($myCurl);
echo "Ответ на Ваш запрос: ".$response;
В принципе, задача скачивания видео в Dropbox решается с помощью любого сервиса прямого скачивания с YouTube (в URL к домену youtube приписываются пара букв), либо с помощью плагина к браузеру. Не могу придумать сценарий использования такого сервиса.
Более того, такой сервис существовал, но почил в бозе — VideoDropper.