Правильно - вот так:
object = new Kvadrat();
Теоретически, можно было бы делать как вы пытаетесь:
object = &kv;
Но конкретно в вашем коде - это будет UB, потому что kv - это локальная переменная и у нее очень огранниченная область видимости - внутри if. И вот за пределеами этого if, где вы и попытаетесь, очевидно, использовать указатель object, эта локальная переменная будет уже уничтожена. У вас будет т.н. висячий указатель - указывающий туда, где данные были, а сейчас там может быть все, что угодно.
Поэтому, если вы присваиваете указателю адрес какого-то объекта (&) вам надо убедиться, что время его жизни не меньше, чем у указателя, пока вы будете его использовать. Можно, например, сделать переменную глобальной, но это очень плохой код. Лучше завести все 4 разных класса в начале функции, потом прочитать нужный и взять указатель на него. Этот подход иногда даже используется на практике.
Но лучше, все-таки, не плодить лишних сущностей и создавать объект сразу в куче с помощью new. Тогда он сам нигде не уничтожится.