И не путайте это с тем сертификатом, который отправляет веб сервер.Сертификат не бывает тот или не тот. Сертификат один — подписанный удостоверяющим центром открытый ключ с атрибутами (или полями как вы говорите).
Сертификат содержит внутри пару ключей (приватную, публичную)Сертификат ни при каких условиях не может содержать внутри приватный ключ.
Сертификат содержит внутри пару ключей (приватную, публичную), и некоторые другие поля, например доменное имя сайта для валидации.Сертификат не содержит приватный ключ, только открытый/публичный.
а браузер генерирует на его основе наш ключ сессии и отправляет на сервер.Не на его основе, а вырабатывает случайный ключ и шифрует его сертификатом-публичным ключом сервера. Сертификат это не что иное, как публичный ключ с некоторыми атрибутами (владелец, области применение, регламенты, сроки действия и т.д.) заверенный удостоверяющим центром.
На этом ассиметричный этап зашифрованного общения заканчивается и начинается симметричный путем сессионного ключа, верно?Ну, в общем да. На самом деле они там потом еще туда-сюда обмениваются, но база в этом. Почитай по ссылке, там подробно по всем версиям расписано.
Может в настройках что-то вроде PC-mode будет, поковыряйся.