Насколько это "вредно" для производительности, если я каждое обновление страницы буду проверять mySQL с таблицами цитат?
Не на сколько. Один запрос это ничтожная часть времени. Сайты используют десятки и сотни запросов для генерации одной страницы.
Если есть другие концепции выполнения подобной задачи - поделитесь идеями, пожалуйста!
Можно например сделать массив вида "20220101" => "цитата дня" и сразу на целый год вперед без мракобесия из if-else.
Правильно ли я понимаю, что мне стоит привязать это дело к базе данных
Зависит от того как удобно ты хочешь этим пользоваться. БД это просто источник данных которые туда надо тоже добавлять. Как проект для развития себя как программиста стоит использовать базу, это даст пространство для маневров. Следующим этапом может стать написание простой админки для добавления в базу или использования PhpMyAdmin (или TablePlus и тд) для работы с базой. Такими мелкими задачками можно развиваться.