Rsa97

Для расчёта можно взять только одну ось, по второй торшер зеркально-симметричен и устойчив. За 0 примем центр основания.
1. Основание - радиус R_осн, масса M_осн
2. Вертикальная труба - расстояние от центра основания X_вт, масса M_вт
3. Дуга, самая сложная часть, примем за сектор в 90°, радиус R_д, масса M_д
4. Вынос - длина L_в, масса M_в
5. Светильник - масса M_св

Для начала посчитаем расположение всех центров масс.
R_цмд = R_д*sin(π/4)/(π/4) = 0.9*R_д
X_цмд = R_д - R_цмд*cos(π/4) - X_вт
X_цмв = R_д - X_вт + L_в / 2
X_св = R_д - X_вт + L_в

Теперь возьмём формулу центра масс сложного объекта
X_цм = SUM(X_i * M_i) / SUM(M_i)
Наложим ограничение X_цм < R_осн
(-X_вт*M_вт + X_цмд*M_д + X_цмв*M_в + X_св*M_св) / (M_осн + M_вт + M_д + M_в + M_св) < R_осн
(M_осн + M_вт + M_д + M_в + M_св) > (-X_вт*M_вт + X_цмд*M_д + X_цмв*M_в + X_св*M_св) / R_осн
M_осн > (-X_вт*M_вт + X_цмд*M_д + X_цмв*M_в + X_св*M_св) / R_осн - M_вт - M_д - M_в - M_св

Создать массив X[1..N]
Заполнить его X[i] = i
Сделать много (например, N) перестановок случайных элементов X[rand(1..N)] <=> X[rand(1..N)]
Взять M первых элементов

Вы вывели формулу получения k+1 элемента из k-го, а в программе используете её для получения k-го элемента из k-1. Это разные формулы.

Math.Cos и Math.Sin принимают угол не в градусах, а в радианах.
Замечание - расстояние между любыми двумя отрезками на вашем рисунке - ноль, так как они все имеют общую точку.

Для задачи можно рассматривать только неубывающие последовательности, поскольку возрастающие можно получить из них инвертировав порядок.
Имеем N чисел. Пусть n_i - длина подпоследовательности, в которой числа равны. Тогда все варианты можно представить как разложение N на слагаемые. Для каждого такого варианта вычисляем количество перестановок чисел с учётом наличия одинаковых
P = N! / ∏(n_i!)
, затем суммируем полученные значения.

N = 4
[4] => A = B = C = D, P = 4! / (4!) = 1
[3,1] => A = B = C < D, P = 4! / (3! * 1!) = 4
[2,2] => A = B < C = D, P = 4! / (2! * 2!) = 6
[2,1,1] => A = B < C < D, P = 4! / (2! * 1! * 1!) = 12
[1,3] => A < B = C = D, P = 4! / (1! * 3!) = 4
[1,2,1] => A < B = C < D, P = 4! / (1! * 2! * 1!) = 12
[1,1,2] => A < B < C = D, P = 4! / (1! * 1! * 2!) = 12
[1,1,1,1] => A < B < C < D, P = 4! / (1! * 1! * 1! * 1!) = 24

Итого 24+12+12+4+12+6+4+1 = 75 вариантов

Вообще-то это стандартный перевод из одной систему счисления, в данном случае десятичной, в другую, с основанием равным длине нового алфавита.

function myEncode($value, $alphabet, $length) {
  $base = strlen($alphabet);
  $encoded = '';
  while ($length > 0 && $value > 0) {
    $encoded = $alphabet[$value % $base].$encoded;
    $value = ($value - $value % $base) /$base; 
    $length--;
  }
  while ($length > 0) {
    $encoded = $alphabet[0].$encoded;
    $length--;
  }
  return $encoded;
}

$alphabet = 'abcdefghijklmnopqrstuvwxyz';
echo myEncode(2, $alphabet, 3)."\n";
echo myEncode(555, $alphabet, 3)."\n";

Если алфавит и длина результата фиксированы, то можно и проще:

function myEncode_1($value) {
  return chr(($value - $value % 676) / 676 + 97).
         chr(($value % 676 - $value % 26) / 26 + 97).
         chr($value % 26 + 97);
}

echo myEncode_1(2)."\n";
echo myEncode_1(555)."\n";

Для первой книги (из шести) есть шесть свободных позиций на полке. Для второй - остаётся пять для каждого из шести вариантов размещения первой книги (6*5). Для третьей - 4 для каждого из 30 (6*5*4). И так далее, для шестой остаётся одна позиция для каждого из 720 (6*5*4*3*2) вариантов размещения первых пяти книг. Итого 6*5*4*3*2*1 = 6! = 720 вариантов.

Зоны (например квадраты или гексы), для каждой определить максимальную плотность ресурса, текущую плотность и скорость восстановления. При движении в пределах зоны перс собирает ресурс, при этом плотность ресурса в зоне (и, соответственно, скорость сбора) падает.

А цель какая?
Если необходимо только сохранение направления кривой в P₀ и P₂, то достаточно просто. Строим перпендикуляр к P₀P₁ в точке P₀, перпендикуляр к P₁P₂ в точке P₂, находим пересечение перпендикуляров, получаем центр окружности.
Если максимально точное приближение, но без сохранения направления в крайних точках, то тут уже будут трёхэтажные формулы.

Пары AB и CD - это последовательные зависимые события, P_AB = P_A*P_B/A, P_CD = P_C*P_D/C

Общий принцип - найти корни x₁...x_n и представить многочлен в виде (x-x₁)*(x-x₂)*...*(x-x_n)
Корни можно искать как подбором, так и аналитическими методами. Например, первый многочлен:
p²+pq-2q² = 0
D = q²+8q² = 9q²
p₁ = (-q+3q)/2 = q
p₂ = (-q-3q)/2 = -2q
p²+pq-2q² = (p-q)*(p+2q)

PS.
Можно решать последовательно, подбирая по одному корню x_i и деля многочлен на (x-x_i)