Для правильного вопроса надо знать половину ответа
Никак. Любой AJAX-запрос в браузере будет подчиняться политике CORS. Postman - это расширение для браузера, у него нет ограничения по CORS.
Если сервер, к которому делается запрос, ваш, то добавляйте необходимые заголовки в ответ. Если не ваш, то поднимайте свой сервер и делайте запрос через него (AJAX из браузера запрашивает ваш сервер, скрипт на вашем сервере запрашивает API постороннего сервера и возвращает ответ в браузер).
Для правильного вопроса надо знать половину ответа
Разрешить можно только на сервере api-ip.fssprus.ru.
Вы, со своей стороны, можете только проксировать такие запросы на своём сервере, обращаясь из браузера к своему API, которое будет делать запрос на api-ip.fssprus.ru.
Для правильного вопроса надо знать половину ответа
Callback-функция toggleLikeButton не определена, скрипт останавливается с ошибкой при попытке назначить её в качестве обработчика события, о чём браузер сообщает в консоли.
Для правильного вопроса надо знать половину ответа
querySelectorAll возвращает не один элемент, а NodeList.
У NodeList'а нет свойства .style, поэтому возвращается значение undefined.
Ну и, соответственно, у undefined нет свойства background, о чём и говорится в ошибке.