Mrrl

Судя по названию View, вы работаете в терминах компьютерной графики, когда векторы - строки и умножаются на матрицу слева: v1' = v1*View.
Берёте 4 линейно независимых вектора v1,v2,v3,v4, составляете из них матрицу M, в которой они записаны по строкам. Из соответствующих векторов v1',v2',v3',v4' строите матрицу M'. Тогда M' = M*View (это довольно очевидно - достаточно вспомнить, как перемножаются матрицы). Отсюда, View = Inverse(M)*M' (умножаем предыдущую формулу на Inverse(M) слева).
Если пар больше 4, и соответствия только приближённые, то ситуация сложнее - придётся звать на помощь метод наименьших квадратов. Если на матрицу View есть какие-то ограничения, то тоже придётся ещё повозиться (потому что матрица, вычисленная по первым 4 векторам, может быть, например, не совсем ортогональной).

Да, задача не имеет вообще ничего общего с тем, что вы написали вначале. Надо найти число подотрезков - то есть, фрагментов последовательности без пропусков. Ограничения "нельзя удлинять отрезок, если сумма достигла M+1" у них нет - они говорят только, что можно и не удлинять. То, что "воспользуемся модулем", не означает, что надо брать сумму модулей - иначе ответ был бы около 50. Вероятно, имеется в виду, что модуль суммы должен быть больше M (из примера этого понять нельзя, в нём нет отрезка с суммой меньше -8).
Могу сказать, что задача совсем непростая. Грубой силой она не решается (требуется N^2/2 сравнений, в секунду не уложитесь).
Я бы делал так. Взять массив частичных сумм (0, a0, a0+a1, ...). Потом сделать log_2(N) копий этого массива (занумерованных индексом k от 1 до log_2(N)), и в каждом из них отсортировать отрезки длиной 2^k. Для массива из задачи это будет выглядеть так:
S0=S[0]=[0,-2,7,10,16,19,27,26,36,30,37]
S[1]=[-2,0, 7,10, 16,19, 26,27, 30,36, 37]
S[2]=[-2,0,7,10, 16,19,26,27, 30,36,37]
S[3]=[-2,0,7,10,16,19,26,27, 30,36,37]
К сожалению, массивы S[1],S[2],S[3] оказались одинаковыми - это потому, что в примере мало отрицательных чисел.
Имея такие массивы, вы легко ответите на вопрос "сколько чисел в фрагменте массива S0[k+1]..S0[N] не принадлежат диапазону S0[k]-M .. S0[k]+M" (время - log(M)^2). Сумма таких ответов для всех k от 0 до M-1 и даст ответ на задачу. Полное время - M*log(M)^2.
UPD. Лучше бы они писали условие по-английски. Было бы не так стыдно за формулировку.

Математика здесь не нужна, достаточно программирования.
Посмотрите на игрушку Sherlock: www.kaser.com/sherwin.html
Там алгоритм решения полностью открыт: есть трёхмерный битовый массив "может ли в доме A признак B иметь значение C", и в каждый момент решения найдётся подсказка, исключающая один из вариантов. Так что вам нужно сначала сгенерировать любой набор подсказок, приводящий к решению по этому алгоритму ("если зашли в тупик - добавим ещё подсказку"), а потом исключать из полученного набора те подсказки, без которых задачу можно решить (исключаете по одной и пытаетесь решить). Учтите, что подсказки есть разной силы, и чтобы не получилось огромного набора из "A не сосед B", надо соблюдать баланс, добавив (лучше, сначала, но не обязательно) несколько более сильных подсказок.
Лучше сгенерировать сотню-другую наборов заранее, а потом применять их, перемешивая признаки и значения в случайном порядке.

Скорость работы вероятностного алгоритма - примерно C*L^2*log(L), где L - длина проверяемого числа, C - количество тестов (вероятность false positive будет не больше 4^(-C)). Это если использовать сверхбыстрые алгоритмы умножения. Для миллиона знаков время получится несколько триллионов - и там всё зависит от константы. Будут это часы, или дни - сказать трудно.
Если тестируемое число равно произведению нескольких известных простых чисел + 1, то проверка может дать гарантированный результат, но в этом случае C равно количеству чисел, входящих в произведение.

Есть:
выводите число B, потом 1000 нулей, потом C. Конечно, нужно, чтобы было C < B.

45*y*(2*x^2+x-2)+90*(x^2+x+1)

По большому счёту, однородные координаты нужны с единственной целью - чтобы при получении экранных координат точки не нужно было различать ортогональную и перспективную проекции. В остальных ситуациях их полная поддержка была бы только лишней тратой ресурсов.
Сразу надо сказать, что матрицей 3*3 вы не обойдётесь. Такие матрицы описывают только поворот, а в перемещениях объекта и камеры в 3D есть ещё сдвиги. Поэтому нужна матрица, по меньшей мере, 3*4 (в конвенции компьютерной графики, когда вектор это строка а не столбец).
В терминах линейной алгебры пользоваться такими матрицами неудобно, поэтому к ним добавляют столбец (0,0,0,1), а к координатам точки - четвёртую координату 1. Де-факто мы при этом получаем проективное пространство, представленное однородными координатами. Но при любых операциях над матрицами и точками у нас последний столбец всегда будет (0,0,0,1), а последняя координата точки - 1.
Если знать это, то можно хорошо сэкономить: для хранения матрицы хватит 12 чисел вместо 16, для перемножения двух матриц - 36 умножений вместо 64, а для умножения матрицы на точку - 9 умножений вместо 16. Надеюсь, что в реальных проектах так и делают.
Но есть одно место, где последний столбец не равен (0,0,0,1), и четвёртая координата точки может отличаться от 1 - это перспективная матрица для вывода на экран (ссылку вам уже дали). Для вывода точки (x,y,z) результат её применения может быть, условно, (x,y,z,1) - тогда имеет место ортогональная проекция, и выведется точка (x,y), а может - (x,y,-1,z) - тогда координаты точки окажутся (x/z,y/z), и проекция будет перспективной. Хватило бы одного бита - как интерпретировать точку, делить ли на z. Но разработчики компьютерной графики решили, что матрица 4*4 и однородные координаты - это более эффективно. Им виднее.

Линейная алгебра (довольно глубоко - чтобы свободно ориентироваться в свойствах линейных операторов), функциональный анализ, ТФКП и УрЧП. Думаю, для начала должно хватить.

Мало применяется. В информатике она, скорее всего, понадобится в анализе сложности различных алгоритмов, выборе оптимальной стратегии перебора. В олимпиадном программировании встречается постоянно. В реальной жизни - в основном, когда комбинаторные формулы требуются для расчётов вероятностей, а те, в свою очередь, для проверки статистических гипотез.
Ещё комбинаторика может пригодиться в задачах, связанных со статистической физикой, когда через число состояний оценивается энтропия системы, а через неё - дальнейшее поведение или устойчивость. Возможно, она нужна для алгоритмов вроде сверхбыстрого умножения чисел. Но всё это очень далёкий уровень, при взгляде с которого элементарная комбинаторика уже неотличима от таблицы умножения.

UPD. Можно вспомнить одно место, где комбинаторика требуется в обычных задачах. Это когда у нас есть множество каких-нибудь подмножеств, перестановок, слов над алфавитом, или ещё чего-нибудь, что обычно считает комбинаторика. И мы хотим по элементу этого множества найти его индекс. И наоборот.
Задача возникает не часто, но если возникла, то без комбинаторных формул не обойтись никак.

Базисы Грёбнера гораздо нужнее. А из интегралов чаще всего достаточно знать формулу трапеций, для практических целей (если это не расчёт водородной бомбы) её хватает.

Мяч катится по плоскости? В таком случае, если вы установите систему на высоте, равном радиусу, мяч не может задеть луч краем. Проблема будет в том, что он может пройти под углом к лучу, и свет прервётся на время, большее, чем d/v. Надо будет поставить два луча под углом друг к другу. Проще всего, если они перпендикулярны - тогда скорость определится, как d*sqrt(1/t1^2+1/t2^2). Если прямой угол невозможен, то будет получаться два ответа - один, когда направление движения мяча попадает в большой угол между лучами, и второй - когда оно попадает в малый угол.
Если мяч летит в пространстве, то шансы, что он вообще пересечёт луч, очень малы. Но если допустить, что это происходит, то придётся взять несколько параллельных лучей (например, три, образующие полосу, с небольшим расстоянием между ними), и по отношениям времени, которое мяч их пересекает, определить, каким местом он их задел. Хотя нет, трёх мало. Мяч ведь может подлететь и параллельно плоскости этой полосы, тогда все датчики покажут одинаковое время. Лучше взять 5 лучей, образующих крестик (вершины квадрата и центр).
И ещё 5 лучей, идущих под углом к первым, чтобы компенсировать угол пересечения лучей мячом. Итого 10 - и система сработает, только если мяч пересечёт их все.