Damian Lewis

Для решения задачи пишется скрипт размером 2-3 строчки (при желании можно и в одну строчку).
Это простое копирование файлов и папок по списку. Список лучше хранить в отдельном файле.
Под виндой можно использовать robocopy для большей эффективности.
Под Линуксом rsync.

Если для восстановления требуется больше суток, то, видимо, и для создания копии потребуется примерно столько же времени. Внешний-то диск имеет USB3 или старый медленный USB2?

Правильно:
в нормальных датацентрах есть возможность получить ip kvm к машине, управление по rdp/vnc с просмотром экрана уже начиная с биоса. Правда доступ к этой функции тоже может быть через саппорт.

Остальные варианты это как собирать машину через замочную скважину, сложные нудные и странные:

Датацентры могут предлагать установить в качестве загрузочного медиа пользовательское iso, в этом случае можно подготовить на iso какую-нибудь систему, где будет уже настроен какой-нибудь сервер удаленного управления и из него уже работать со своим диском, скорее всего останется вариант расшифровать или запустить его в своей виртуалке (правда может не получиться, не всякие vm могут каскадно запускаться друг в друге)

так же почти наверняка в панели управления можно создать диск, залить на него дефолтную установку новой ОС, установить зашифрованный диск вторым, расшифровать или что тебе там с ним надо делать...

Через dd можно создать копию

dd if=/dev/sda of=name.img

cp -vaR ./from ./to
Проверил на смартфоне - работает.

Кажется, он просто набирает текст в PowerPoint

Разверните на любом VPS, купите белый IP и подрубайтесь по RDP.
Ну а бесплатно - никак.