1. Запрет SMTP - это конечно нонсенс, но как решение - использовать протоколы, не запрешённые на сервере.
2. Mail.ru, Yandex.ru, Rambler.ru, и т.д., полнО же их!
3. Поднять на своём сервере SMTP, не так уж и сложно. Даже коннектиться куда-то не нужно, почтовый сервер уже на самом сервере, и нииииикаких ограничений. И поэтому можно моментально вляпаться в SPAM-базы, угу.
4. Перейти на другие способы извещений, например из свежих-модных-молодёжных - Telegram. Всё очень тривиально, один HTTPS-запрос - и весточка полетела...