Как доказать, что муха будет бесконечно разворачиваться?

Question

[Fragman]

Два поезда движутся на встречу друг другу, их скорости равны 20 км/ч, вместе с первым поездом вылетает муха со скоростью 40 км/ч. Расстояние между точками старта 100 км. Как только муха встречает один из поездов, то она разворачивается. Сколько раз развернётся муха до того, как поезда встретятся?
Пытаюсь найти строгое математическое доказательство, но пока есть только код, который доказывает, что она будет бесконечно разворачиваться.

Comments

[GavriKos]

Бесконечно - это только в том случае, если поезда не встретятся, нет?
Понятно что когда они встретятся и разойдутся - то мухе снова надо будет разворачиваться - но факт встречи то будет. Все.
Задача из школьного учебника.

[Griboks]

GavriKos, согласен, что муха не будет бесконечно разворачиваться. Она просто развернётся бесконечное количество раз за бесконечно малый промежуток времени к моменту встречи поездов.

[GavriKos]

Griboks, Хмм.... Я понял о чем вы. Может и так. Но не бесконечное количество - оно вполне конечно.

Answer 1

[Rsa97]

Математически (при представлении мухи точкой) бесконечно. Доказать можно записав ряд расстояний между поездами в моменты разворота и показав, что члены этого ряда не превращаются в ноль, хоть и стремятся к нему.
Физически, как только поезда сблизятся на расстояние, равное размеру мухи, ей можно уже не разворачиваться.

Comments

[Fragman]

Как записать этот ряд временных интервалов, я как раз не могу составить уравнения

[Rsa97]

Fragman, Поправился, для временного ряда надо ещё предел суммы доказывать. Лучше взять расстояния между поездами в момент разворота. Находится элементарно.
Пусть расстояние между поездами в момент очередного разворота равно X_i.
Муха летит навстречу поезду, значит скорость их сближения 60км/ч. Следовательно, муха встретится с поездом через Ti = Xi / 60.
Скорость сближения поездов 40км/ч. Значит за это время они проедут T_i * 40 = X_i * 40 / 60 = X_i * 2 / 3.
Следовательно в момент следующего разворота расстояние между поездами будет X_i+1 = X_i - (X_i * 2 / 3) = X_i / 3.
Отсюда можем записать ряд X_i = X₀ / 3ⁱ.
Какое большое бы i мы не взяли, X_i будет больше нуля, значит в момент любого разворота между поездами останется некоторое расстояние.

[vutmuk123]

Эта задача чем то напоминает пример из школы про спринтера, который догоняет черепаху. Типо пока спринтер добежит до черепахи- она еще сколько то проползет, и так до бесконечности...
Однако почему же тут муха будет вращаться бесконечно, если предел в точке встречи поездов, я не понял?...

[Fragman]

vutmuk123, чем меньше расстояние между поездами, тем меньше мы можем взять временной промежуток, а на этом промежутке муха быстрее поездов. А строгое математическое доказательство приведено выше.

[Rsa97]

vutmuk123, Потому что после каждого поворота муха встретится с другим поездом раньше, чем встретятся сами поезда. Бесконечным будет именно количество разворотов мухи, а не время или расстояние, которое она пролетит.
Поезда встретятся через 100/40 = 2.5 часа, муха за это время пролетит 40*2.5 = 100км.

[vutmuk123]

Fragman, Наверное так и есть... если представить что муха разворачивается моментально...

[Rsa97]

vutmuk123, Дык здесь математическая абстракция. Муха - математическая точка, без размеров, инерции, усталости, голода, жажды, да ещё и сверхскоростная (у реальной комнатной мухи скорость порядка 6 км/ч).

[vutmuk123]

Rsa97, тут дело даже не в том, реальная ли муха. Сравнивая с той задачкой про черепаху, она как раз предваряла теорию пределов вроде бы. И там вопрос стоял так- значит ли это, что что спринтер никогда не догонит черепаху? И ответ был такой-нет, не значит. А тут получается, что мы считаем количество оборотов, и вопрос звучит так, значит ли это что число оборотов мухи стремится к бесконечности- и ответ- да, так и есть!
Что как бы забавно)

[Rsa97]

vutmuk123, В апории "Ахилл и черепаха" количество интервалов тоже бесконечно. Именно отсюда и появилась теория пределов, предел суммы бесконечного количества интервалов - конечное число.

Answer 2

[Wataru]

От противного. Допустим муха в какой-то момент последний раз отразилась (и это до встречи поездов). Она летит быстрее поезда и долетит до другого поезда быстрее второго поезда и отразится там еще раз. Ибо расстояние между поездами хоть и станет меньше, но все еще будет больше 0. Но мы же предположили, что это было последнее отражение. Противоречие.

И надо еще доказать, почему не может быть последнее отражение когда поезда встретились. Допустим оба поезда и муха встретились в одной точке. А что было в момент предыдущего отражения? какое-то ненулевое расстояние между поездами. Но если с этого момента проиграть, то следующее отражение будет до момента встречи двух поездов. Опять противоречие.

Comments

[vutmuk123]

Супер!) Даже я понял)