Как решить эту задачу?

Question

[12LiCaNtRoP12]

Я не знаю, обсуждабтся ли тут простые решения задач, но ко мне обратились с задачей, решение которой я вообще даже не предполагаю, как найти. Задача:

Десятичная запись числа 2^2020 содержит m цифр, а десятичная запись числа 5^2020
содержит n цифр. Найти чему равно m+n

Comments

[AVKor]

Здесь запрещены задания.

[12LiCaNtRoP12]

Дмитрий Золотарев, это не школьная задача вроде

Answer 1

[Rsa97]

Количество цифр целого числа x в системе счисления с основанием a вычисляется как ⌊log_ax⌋ + 1
log_ax = log_bx / log_ba

Answer 2

[Wataru]

Проверьте для мелких чисел сначала.
2,5 - 2
4,25 - 3
8,125- 4
16,625 - 5.

Вроде как напрашивается паттерн, что ответ в вашей задаче 2021.

Почему так? Его можно доказать. Как Rsa97 уже написал, количество цифр - log_10, округленный вниз+1. Пусть k=2020, тогда ваш ответ:

2+floor(log(2^k))+floor(log(5^k)).

Если бы floor не было, учитывая log(a)+log(b) = log(ab), то мы бы получили 2+log(10^k), что было бы 2+k. Но у нас есть floor, каждый из которых уменьшает занчение на число от 0 до 1, больше 0, но меньше 1 (ведь ни 2 ни 5 ни в какой спени не дадут степень 10 - log дает нецелое число). Итого - ответ меньше чем k+2 на некое число, от 0 до 2 (невключительно) и целое. Такое число только одно - k+1.

Comments

[Rsa97]

На самом деле можно просто вычислить. Я не случайно привёл формулу смены основания логарифма.
log₁₀2²⁰²⁰ = log₂2²⁰²⁰ / log₂10 = 2020 / 3.321928 = 608.080591
log₁₀5²⁰²⁰ = log₅5²⁰²⁰ / log₅10 = 2020 / 1.430677 = 1411.9194
⌊608.080591⌋ + 1 + ⌊1411.9194⌋ + 1 = 608 + 1 + 1411 + 1 = 2021

[Wataru]

Rsa97, А если степень была бы не 2020, а 10000000000000? А если там k в общем виде?

Формула смены логарифма тут и не нужна вообще. log(a^b) = log(a)*b - это известная и так формула.