Что такое inner product и dot product?

Question

[Илья]

Прохожу курсы по высшей математике на английском, немного сбивает с толку терминология.
Как я понимаю, есть скалярное и векторное произведения векторов в зависимости от результата, который мы хотим получить. Также есть матричное умножение.

В английской я слышал два термина dot product и inner product. Первое - является частным случаем второго и описывается формулой:
<x,y> = x.T @ I @ y , где I - единичная матрица

Но как это называется на русском? И какой геометрический смысл этих операций?

Answer 1

[D3lphi]

Dot product - это частный случай inner product, например, в евклидовом векторном пространстве. Можно сказать, что dot product - это особенный inner product, определенный в пространстве R^n.
Геометрический смысл dot product связан с проекцией векторов друг на друга. Именно поэтому для ортогональных векторов a и b, (a, b) = 0.
Не знаю для чего вы тут упомянули векторное произведение (cross product), это вообще из другой оперы и не относится к заголовку вопроса. Оно определено лишь для трехмерного евклидова пространства (хотя существует и псевдо векторное произведение для двумерного пространства). Геометрический смысл таков, что результат векторного произведения векторов a и b - это вектор c, перпендикулярный и вектору a и вектору b одновременно.

Comments

[Илья]

Я правильно понял, что первый абзац относиться к dot product и inner product?

Если так, то что представляется из себя результат скалярного произведения?
И векторное произведение векторов a и b - это длина вектора с, или что это за число?

[D3lphi]

Илья, результат скалярного произведения - число. Результат векторного произведения - вектор (я же прям так и написал). Или что вам непонятно?

[Илья]

Меня путает именно наличие нескольких произведений (векторное, скалярное..)
Векторное - возвращает координаты вектора, перпендикулярного первоначальным двум, как я понял.
А если я хочу получить скалярное произведение векторов a и b - это будет число, что это за число? Что оно отображает?

[D3lphi]

Илья,

Векторное - возвращает координаты вектора, перпендикулярного первоначальным двум, как я понял.

Не говорят "координаты вектора", говорят просто "вектор". Который по сути является математическим объектом инкапсулирующим несколько чисел (координат), да.

А если я хочу получить скалярное произведение векторов a и b - это будет число, что это за число? Что оно отображает?

Скалярное произведение - фундаментальное понятие линейной алгебры. Оно вводится в евклидовом пространстве (но не только в нем, здесь и далее я привожу в пример евклидово, как наиболее распространенное; так в унитарном пространстве есть свой тип скалярного произведения) для того чтобы определить понятия длины и угла. Без скалярного произведения евклидово пространство было бы просто векторным пространством (множество векторов, для которого определены операции сложения друг с другом и умножения на число).
Длина вектора определяется, как корень квадратный из скалярного произведения этого вектора с самим собой, а угол между двумя векторами - как арккосинус скалярного произведения, деленного на произведение длин векторов.
Это что касается линейной алгебры. Если говорить о геометрическом представлении скалярного произведения, то это число, само по себе, не имеет этого самого геометрического представления. Можно лишь говорить о том, как это число связано с другими величинами. Как я уже сказал выше, связано оно с проекцией одного вектора на другой. Так, скалярное произведение равно произведению длин векторов, умноженное на косинус угла между ними (это очевидно и выражается из формулы из предыдущего абзаца). Из этой формулы становится понятно, что |A|*cos(угол между A и B) равно длине проекции вектора А на вектор B:



Я вам очень рекомендую не проходить курсы в интернете, а взять и почитать какой-нибудь хороший вузовский учебник по линалу. Вот то что я кратко выше изложил там выводится пошагово. Иначе так и будет много непонимания.

[Илья]

Да я, в общем-то, понимаю это все, просто создается путаница в голове, когда использую русские и английские ресурсы вперемешку.
Спасибо за ответ

Answer 2

[Griboks]

Насколько я знаю, оба понятия - это скалярное произведение. Умножение на единичную матрицу не несёт никакого практического смысла.

Comments

[Илья]

Единичная матрица не несет практического смысла, но в данной формуле показывает, что туда можно поставить какую-то другую матрицу.